2018年概率论与数理统计考研辅导讲义与同步练习

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内容简介
目录
第1章　随机事件和概率
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第2章　随机变量及其分布
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第3章　多维随机变量及其分布
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第4章　随机变量的数字特征
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第5章　大数定律和中心极限定理
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第6章　统计量及其分布
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第7章　参数估计
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第8章　假设检验
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习

内容预览
第1章　随机事件和概率
一、考研辅导讲义
1．随机现象与样本空间
（1）随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．
（2）样本空间
随机现象的一切可能的基本结果

，组成的集合

，称

是由基本结果

构成的样本空间，记作

，

又称样本点．
（3）随机事件
样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示．
注：
①随机事件是由样本空间中的样本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单件，称为基本事件．
②随机事件既然由样本点组成，因此，随机事件是由基本事件组成．
③如果一次试验的结果为某一基本事件出现，就称该基本事件出现或发生．如果组成事件A的一个基本事件出现或发生，也称事件A出现或发生．
④把Ω看成一事件，则每次试验必有Ω中某一基本事件（即样本点）发生，也就是每次试验Ω必然发生，称Ω为必然事件．
⑤把不包含任何样本点的空集

看成一个事件，称

为不可能事件．
（4）随机变量
表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z，或者ξ，η等表示．
2．事件间的关系
（1）包含关系
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为

或

．
（2）事件相等
若

与

同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．
（3）互斥事件（互不相容事件）
若事件A与事件B满足关系

，即A与B同时发生是不可能事件，则称事件A和事件B为互斥或互不相容，即两互斥事件没有公共样本点．
注：事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：
①若n个事件

中任意两个事件均互斥，即

，i≠j，i，j＝1，2，…，n，则称这n个事件是两两互斥或两两互不相容．
②如果可数无穷多个事件

…中任意两个事件均互斥，即

，i≠j，i，j＝1，2，…，n，…，则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容．
【例】对任意两个互不相容的事件A与B，必有（）．
A．如果P（A）＝0，则P（B）＝0
B．如果P（A）＝0，则P（B）＝1
C．如果P（A）＝1，则P（B）＝0
D．如果P（A）＝1，则P（B）＝1
【答案】C查看答案
【解析】

．
（4）对立事件
如果事件A与事件B有且仅有一个发生，则称事件A与事件B为对立事件或互逆事件，记为

或

．
注：①如果A与B为对立事件，则A，B不能同时发生，且必有一个发生，即A、B满足A∪B＝Ω且

．
②在样本空间中，集合

是由所有不属于事件A的样本点构成的集合．
【例】设随机事件A和B满足条件

，则（）．
A．

B．

C．

D．

【答案】A查看答案
【解析】

，所以

即

而

，故

，也就有

即A∪B＝Ω．
3．事件间的运算
（1）事件的交（积）
如果事件A与事件B同时发生，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交或积，记为A∩B或AB，即集合A∩B是由同时属于A与B的所有公共样本点构成．
注：事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：

（2）事件的并
如果事件A与事件B至少有一个发生，则称这样一个事件为事件A与事件B的并或和，记为A∪B，即集合A ∪ B是由属于A与B的所有样本点构成．
注：事件的并可推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：

（3）完备事件组
如果有限个事件

满

，且

，则称

为Ω的一个完备事件组或完全事件组．
注：可以推广完备事件组到可数无穷多个事件的情形：

且

．
（4）事件的差
事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，记为A－B．即在样本空间中集合A－B是由属于事件A而不属于事件B的所有样本点构成的集合．显然

．
（5）事件的运算规律
交换律

结合律

分配律

对偶律


【例】A，B，C为任意三随机事件，则事件（A－B）∪（B－C）等于事件（）．
A．A－C
B．A∪（B－C）
C．（A∪B）－C
D．（A∪B）－BC
【答案】D查看答案
【解析】因

，故

．而







图1-1
4．概率的概念及基本性质
（1）概率的公理化定义
设

为一个样本空间，F为

的某些子集组成的一个事件域．如果对任一事件

F,定义在F上的一个实值函数

满足：
①非负性公理：若

F,则

，
②正则性公理：

③可列可加性公理：若

互不相容，则

，则称

为事件A的概率，
称三元素

F

为概率空间．
（2）概率性质
①

；
②若

两两互斥，则有

③

；
④

，则P（A）≤P（B）；
⑤0≤P（A）≤1
【例】若A，B为任意两个随机事件，则（）．【2015数一、数三】
A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案
【解析】由于

，按概率的基本性质，有

且

，从而

．
（3）事件独立性
设A，B两事件满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称A与B相互独立．
注：对n个事件

，如果对任意k（1＜k≤n），任意

满足等式

则称

为相互独立的事件．
事实上，n个事件相互独立需要

个等式成立．
（4）相互独立的性质
①A与B相互独立

A与

或

与B或

与

相互独立．
将相互独立的n个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则新组成的n个事件也相互独立．
【例】设

，

，

为三个随机事件，且

与

相互独立，

与

相互独立，则

与

相互独立的充分必要条件是（）．[数三2017研]
A．

与

相互独立B．

与

互不相容
C．

与

相互独立　D．

与

互不相容
【答案】C查看答案
【考点】相互独立
【解析】由

，得

．
【例】已知随机事件A，B，C中，满足P（AB）＝1．则事件

（）．　
A．相互独立
B．两两独立，但不一定相互独立
C．不一定两两独立
D．一定不两两独立
【答案】A查看答案
【解析】讨论事件

的独立性，可等价的考虑A，B，C的独立性．
因为P（AB）＝1．可知P（A）＝P（B）＝1，而概率等于1的事件与所有的事件相互独立．所以成立：P（AB）＝P（A）P（B）；P（AC）＝P（A）P（C）；P（BC）＝P（B）P（C）．又因P（AB）＝1．所以事件AB与C也相互独立，P（ABC）＝P（AB）P（C）＝P（A）P（B）P（C）．总之A，B，C相互独立．
②当0＜P（A）＜1时，A与B独立

P（B|A）＝P（B）或

成立．
③若

相互独立，则

必两两独立，反之，若

两两独立，则

不一定相互独立．
④当

相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的．
【例】设随机事件A与B相互独立，且

，则

（）．　
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【答案】B查看答案
【解析】因为事件A，B相互独立，则

．
故

于是

，则


．
（5）概率的运算公式
①加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；
P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）＋P（ABC）．
②减法公式P（A－B）＝P（A）－P（AB）；
③乘法公式当P（A）＞0时，P（AB）＝P（A）P（B|A）；
当

＞0时，有

④全概率公式
设

为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，有


【例】甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中一半白球一半黑球．现从甲袋中任取2球与从乙袋中任取一球混合后，再从中任取一球为白球的概率为（）．　
A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案
【解析】设事件A为最后取出的球为白球，事件B为球来自甲袋，显然，

为球来自乙袋．且B，

构成一个Ω的完备事件组，由全概率公式



，因为最后三个球中二个球是从甲袋中来．所以取出的球来自甲袋概率为

，当然

．

，这是因为已知取出的球来自甲袋的条件下，取出的为白球的概率，就相当于从甲中取出一白球的概率，甲中5个球2个为白，故

，同理

．因为乙中半白半黑，总之

⑤贝叶斯公式
设

为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，且P（A）＞0有

【例】设A、B为随机概率，若

，则

的充分必要条件是（）．[数一2017研]
A．

B．

C．

D．

【答案】A查看答案
【考点】概率公式计算
【解析】因为

，得

，化简得

．A项，

，因为

，所以

．
5．古典概型、几何概型、条件概率及伯努利试验
（1）古典型概率
当试验结果为有限n个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，称这种有限等可能试验为古典概型．此时如果事件A由

个样本点组成，则事件A的概率

称P（A）为事件A的古典型概率．
【例】袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．求P｛X＝1︱Z＝0｝；
解：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为

．

（2）几何型概率
当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维，二维或三维等等），以L（Ω）表示样本空间Ω的几何度量（长度、面积、体积等等）．L（Ω）为有限，且试验结果出现在Ω中任何区域的可能性只与该区域几何度量成正比．称这种拓广至几何度量上有限等可能试验为几何概型．此时如果事件A的样本点表示的区域为

，则事件A的概率

称这种P（A）为事件A的几何型概率．
【例】在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于

的概率为______．
【答案】

【解析】本题是几何型概率．不妨假定随机地取出两个数分别为X和Y．显然X与Y是两个相互独立的随机变量．如果把（X，Y）看成平面上的一个点的坐标，则由于0＜X＜1，0＜Y＜1，所以（X，Y）为平面上正方形0＜X＜1，0＜Y＜1中的一个点．而X与Y两个数之差的绝对值小于

的点（X，Y）对应于正方形中

的区域．

图1-2
在区间（0，1）中随机选取的所有可能的两个数X和Y．这些（X，Y）点刚好是图1-3单位正方形中满足

的点的区域，就是图中阴影标出的区域D．
根据几何型概率

（3）条件概率
设A，B为两事件，且P（A）＞0，称

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．
【例】设A、B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则（）．【2016数三】

【答案】A查看答案
【解析】根据条件得P（AB）＝P（B），则


【例】设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P（AB）＝

，P

＝

，则P（AB|

）＝______．
【答案】

【解析】由条件概率的定义知，P（AB︱

）＝

，其中P（

）＝1－P（C）＝1－

＝

，P（AB

）＝P（AB）－P（ABC）＝

－P（ABC），由于A，C互不相容，即AC＝?，ABC

AC，得P（ABC）＝0，代入得P（AB

）＝

，故将P（

）＝

和P（AB

）＝

，代入公式，得P（AB


）＝

＝

．
（4）伯努利试验
如果试验E只有两个可能的结果：A及

，并且P（A）＝p，

（其中0＜p＜1），把E独立地重复n次的试验就构成了一个试验，这个试验称作n重伯努利试验，又称n次独立重复试验，并记作B．
一个伯努利试验的结果可以记作
ω＝（ω1，ω2，…，ωn）
其中的ωi（1≤i≤n）的全体就是这个伯努利试验的样本空间Ω，对于ω＝（ω1，ω2，…，ωn）∈Ω，如果ωi（1≤i≤n）中有k个为A，则必有n－k个为

，于是由独立性即得

如果要求“n重伯努利试验中事件B出现k次”这一事件的概率为

【例】设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为．【2016数三】
【答案】

【解析】根据题意，取球次数恰好为4，则前三次恰好取到三种颜色中的两种，第四次取到剩下一种颜色的球．故前三次中取到的两种颜色取到的次数分别为1次和2次．综上，取球次数恰好为4的概率为

【例】在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，则在第n次成功之前恰失败了m次的概率为______．

图1-3
【答案】

【解析】为了分析试验的结构，可以作图形分析：“第n次成功之前失败了m次”这事件意味着第n次成功前有（n－1）次成功和m次失败．总共做了（n＋m）次试验．最后一次是成功，前n＋m－1次试验中有m次失败和（n－1）次成功，故事件的概率应为


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