2018年高等数学考研辅导讲义与同步练习

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/157533.html
目录                                                                                        封面
内容简介
目录
第1章　函数、极限、连续
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第2章　一元函数微分学
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第3章　一元函数积分学
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第4章　多元函数微分学
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第5章　常微分方程
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第6章　重积分
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第7章　无穷级数
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第8章　解析几何与多元微分在几何上的应用
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第9章　多元函数积分学及其应用
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习

内容预览
第1章　函数、极限、连续
一、考研辅导讲义
1．函数
（1）函数的概念

，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域．
【例】已知

，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域．
解：由

知

（2）函数的性质
①有界性
定义：如果存在M＞0，

，满足

，则称

在D上有界．
判断方法：
a．定义；
b．

在[a，b]上连续?

在[a，b]上有界；
c．

在（a，b）上连续，且

和

都存在?

在（a，b）上有界；
d．

在区间D上有界?

在D上有界．
【例】已知函数

在（0，＋∞）上有界，则a的取值范围应为（　　）．
A．（0，＋∞）　B．（0，3]　 C．（0，2）　D．（1，3]
【答案】D查看答案
【解析】由本题选项可知，只需讨论a＞0，此时

当a－1≤2，即a≤3时上式极限存在；当a＞3时

，f(x)在（0，＋∞）上无界．
又

当a－1＞0时，即1＜a时上式极限存在且为零；当a≤1时，

，f(x)在（0，＋∞）上无界．故当1＜a≤3时，f(x)在（0，＋∞）上必有界．
【例】以下四个命题中正确的是（　　）．
A．若

在（0，1）内连续，则

在（0，1）内有界
B．若

在（0，1）内连续，则

在（0，1）内有界
C．若

在（0，1）内有界，则

在（0，1）内有界
D．若

在（0，1）内有界，则

在（0，1）内有界
【答案】C查看答案
【解析】AB两项，令

，则

，显然

和

都在（0，1）内连续，但

在（0，1）内无界；D项，令

，显然f(x)在（0，1）内有界，但

在（0，1）内无界．
②单调性
设函数f(x)的定义域为D，区间I

D．
单调递增　当

时，

．
单调递减　当

时，

．
判断方法：
a．利用定义；
b．求导：设f(x)在区间I上可导，则

?f(x)单调增加．

?f(x)单调递减．
【例】已知方程

在区间（0，1）内有实根，确定常数k的取值范围. [数三 2017研]
【考点】利用导数判断函数单调性，确定函数值域区间范围
解：令

，则

令

，可得

故

在[0，1]上单调递减，从而

时

．
故

在[0，1]上单调递减，从而

时

．
因此有

，可知

在（0，1]上单调递减，从而

．
利用等价无穷小和泰勒公式知

则要使得

在（0，1）内必有实根，

．
③奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称，且对于任一x∈D，则：
a．偶函数：f（－x）＝f(x)，其图像关于y轴对称；
b．奇函数：f（－x）＝－f(x)，其图像关于原点对称．
【例】设f(x)是连续函数时，F(x)是f(x)的原函数，则（　　）．
A．当f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数
B．当f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数
C．当f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数
D．当f(x)为单调增加函数时，F(x)必为单调增加函数
【答案】A查看答案
【解析】f(x)的原函数F(x)可写成

形式，于是

当f(x)为奇函数时，f(－u)＝－f(u)，有

即F(x)为偶函数．
④周期性
定义：设函数f(x)的定义域为D；如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D有（x±T）∈D，且

恒成立，则称f(x)为周期函数．T称为f(x)的周期．
判断方法：
a．定义；
b．可导的周期函数其导函数为周期函数；
c．周期函数的原函数不一定是周期函数．
【例】设

是周期为4的可导奇函数，且

，则

______．【2014 研】
【答案】1查看答案
【解析】由题设知，当

时，

，C为任意常数．由

为奇函数，则

，于是

，即

；又由

是周期为4的奇函数，故

（3）反函数与复合函数
①反函数：设函数f：D→f（D）是单射，且它存在逆映射f－1:f（D）→D，则称此映射f－1为函数f的反函数．
②复合函数：设函数y＝f(u)的定义域为

，函数u＝g(x)的定义域为

，且其值域

，则由下式确定的函数

称为由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)构成的复合函数，它的定义域为

，变量u称为中间变量，通常记为

，即

．
【例】函数

的反函数f-1(x)＝______．
【答案】

【解析】当－1≤x＜0时，0＜y≤1，

；
当0＜x≤1时，y≤0，

当1＜x≤2时，2＜y≤2e，

所以反函数

为

（4）基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数．掌握这些函数的定义域、性质、图形．
（5）初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．
【例】已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为

的物体在

的恒温介质中冷却，

后该物体温度降至

，若要物体的温度继续降至

，还需要冷却多长时间？【2015数二】
解：设t时刻物体的温度为

，由已知条件，得

其中，

为比例系数，且满足

．计算得

．
又

，计算得

，所以

．
又

，计算得

．所以

．
令

，计算得

．因此要降至

，还需

．
2．极限
（1）极限的概念
①数列极限
设{

}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式

都成立，则常数a是数列{

}的极限，记为

．
【例】设数列

收敛，则（　）．[数二2017研]
A．当

时，

B．当

时，

C．当

时，

D．当

时，

【答案】D查看答案
【考点】数列的收敛与极限
【解析】对于ABC三项，可分别举反例：

，排除ABC三项．D项，设

，则

，要使

，只有

．
【例】设

是数列，下列命题中不正确的是（　　）．【2015数三】

【答案】D查看答案
【解析】数列收敛，则它的任何无穷子列均收敛，所以AC两项正确；一个数列存在多个无穷子列，如果这些子列的并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的．因D项中两个无穷子列的并集未包含原数列所有项，B项正确，D项错误．
②函数极限
设函数f(x)在点

的某一去心邻域内有定义．如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x满足不等式0＜|x－

|＜δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式

，则常数A称为函数f(x)当x→

时的极限，记为

．
③左右极限
a．左极限：

；
b．右极限：

；
c．函数极限与其左右极限的关系为：

（2）极限的性质
①唯一性：如果

存在，则该极限值是唯一的．
②有界性：如果

，那么存在常数1＞0和

，使得当

时，有

③局部保号性
a．如果

，且A＞0（或A＜0）那么存在常数

，使得当

时，有f(x)＞0（或f(x)＜0）．
b．如果

，那么就存在着

的某一去心邻域

，当

时，就有

．
c．如果在

的某去心邻域内

，而且

，那么

或

．
【例】设

且a≠0，则当，n充分大时有（　　）．
A．

B．

C．

D．

【答案】A查看答案
【解析】由

且a≠0知

，则当n充分大时有

（3）极限存在准则及两个重要极限
①夹逼准则
a．如果数列{

}、{

}及{

}满足下列条件：
①从某项起，即存在

∈N，当n＞

时，有

≤

≤

；
②

，
那么数列{

}的极限存在，且lim

＝a．
【例】（1）求

（2）求

（3）求

解：

而

故

（2）可对xn作适当的变形后再放大与缩小，利用夹逼准则求极限．

于是

又

（3）当0≤x≤1时，

于是

故

．
b．如果当

（或

）时，

，且

，

，那么

存在，且等于A．
【例】设对任意的x总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且

则

有（　）．
A．存在且等于零
B．存在但不一定为零
C．一定不存在
D．不一定存在
【答案】D查看答案
【解析】AC两项，令

，显然φ(x)≤f(x)≤g(x)，且

，此时

．B项，若令

，则φ(x)≤f(x)≤g(x)，且

，但

（不存在）．
②单调有界准则
定理：单调有界数列必有极限
【例】设an＞0（n＝1，2，…），Sn＝a1＋a2＋…＋an则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的（　　）．
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】B查看答案
【解析】显然数列{Sn}单调增，若{Sn）有界，则{Sn}收敛，又
an＝Sn－Sn－1
则数列{an}收敛．但当数列{an}收敛时，数列{Sn}未必有界，如an＝1．
【例】设

证明数列{an}收敛．
证明：当n≥1时，由

知

且

所以数列{an}单调下降且有下界，故{an}收敛．
③两个重要极限

；

【例】求极限

解：

而

则

（4）无穷大与无穷小
①无穷大定义
如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0＜|x－

|＜δ（或|x|＞X），对应的函数值f(x)总满足不等式

，则称函数f(x)为当x→

（或x→∞）时的无穷大．
【例】求极限

解：

②无穷小
a．无穷小定义
如果函数f(x)当x→

（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→

（或x→∞）时的无穷小．特别地，以零为极限的数列{

}称为x→∞时的无穷小．
b．无穷小比较
设

；

；如果limβ/α＝0，就说β是比α高阶的无穷小，记作limβ＝o（α）；如果limβ/α＝∞，就说β是比α低阶的无穷小；如果limβ/α＝c≠0，就说β与α是同阶无穷小；如果limβ/α＝1，则β与α是等价无穷小，记作α～β．
c．常用的等价无穷小

注：使用时候注意条件

．
【例】若函数

在

处连续，则（　）．[数一、数二、数三 2017研]
A．

B．

　
C．

　
D．

【答案】A查看答案
【考点】连续的定义；等价无穷小
【解析】由连续的定义知

，即

，又当

时，

，代入得

，即

．
【例】设

，

，

.当

时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（　　）．【2016数二】
A．

　
B．

C．

　
D．

【答案】B查看答案
【解析】因为

所以，

，

，

按从低阶到高阶的排列顺序为

，

，

．
【例】已知函数f(x)满足

．【2016数三】
【答案】6查看答案
【解析】当x→0时，分母e3x－1→0，又

极限存在，则该极限为

型．又当

时，

．利用等价无穷小代换可得

所以，

．
【例】求极限

解：



【例】把x→0＋时的无穷小

进行排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排到顺序是（　）．
A．α，β，γ
B．α，γ，β
C．β，α，γ
D．β，γ，a
【答案】B查看答案
【解析】根据定义有

则β是α的高阶无穷小．

则β是γ的高阶无穷小，即β应排在γ后面．
c．无穷小性质
有限个无穷小的和也是无穷小；有限个无穷小的积也是无穷小；无穷小量与有界量的积也是无穷小．
③无穷大与无穷小的关系
在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则

为无穷大．
【例】求极限

解：

【例】

．【2016数一】
【答案】

【解析】


【例】

＝______．【2015数一、数三】
【答案】

【解析】可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换．
方法一：

．
方法二：

．
【例】设函数

，若

与

在

时是等价无穷小，求

的值．【2015数一、数二、数三】
解：先分别计算

的极限，则

假设

，则

这与题目已知条件相矛盾，所以

，得

．又

同理可知，

，计算得

．
因为

且

，所以

．
综上，

3．连续
（1）连续的定义
设函数

在点

的某一邻域内有定义，如果

则称函数y＝f(x)在点

连续，即

．
左连续：

；右连续：

．
【例】设函数

在（－∞，＋∞）内连续，且

则常数a，b应满足（　　）．
A．a＜0，b＜0
B．a＞0，b＞0
C．a≤0，b＞0
D．a≥0，b＜0
【答案】D查看答案
【解析】由

在（－∞，＋∞）连续，知

又由

知，

则b＜0，a≥0．
（2）间断点及其类型
①间断点
如果

在

某去心邻域有定义，但是在

处不连续，则称点

为函数

的间断点．
【例】设f(x)和φ(x)在（－∞，＋∞）上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则（　）．
A．

必有间断点
B．

必有间断点
C．

必有间断点
D．

必有间断点
【答案】D查看答案
【解析】若

无间断点，由f(x)的连续知

必连续，这与φ(x)有间断点矛盾．
②第一类间断点：左，右极限均存在的间断点
a．可去间断点：


；
b．跳跃间断点：


．
③第二类间断点：左，右极限中至少有一个不存在的间断点
a．无穷间断点：

时，

；
b．振荡间断点：

时，

振荡．
【例】函数

在

内（　　）．【2015数二】
A．连续
B．有可去间断点
C．有跳跃间断点
D．有无穷间断点
【答案】B查看答案
【解析】因为

所以

在

点左右极限都存在且

，又

在

无定义，根据间断点定义及性质判断，

有可去间断点

．故选B项．
【例】讨论函数的间断点及其类型

解：（1）因x＝1使

无意义，x＝0使f(x)的分母为零，故x＝1和x＝0都是f(x)的间断点．
由于



所以x＝1是f(x)的第一类（跳跃型）间断点．
又

所以x＝0是f(x)的第二类（无穷型）间断点．
（2）由于



所以x＝0为f(x)的第一类（可去型）间断点，x＝kπ（k＝±1，±2，…）是f(x)的第二类的（无穷型）间断点．
又因

f(1－0)≠f(1＋0)，所以x＝1是f(x)的第一类（跳跃型）间断点．
（3）连续函数的性质
①设函数f(x)和g(x)在点

连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）以及复合所得到的函数也是连续函数．
②基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义域内连续．
③闭区间上连续函数的定理
a．有界性定理
如果

在[a，b]上连续，则

在[a，b]上有界．
b．最大、最小值定理
如果函数

在[a，b]上连续，则

在[a，b]上有最大值与最小值．
c．介值性定理
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且

．如果

为介于

与

之间的任何实数

或

，则至少存在一点

，使得

．
【例】设f(x)在（a，b）内非负连续，且x1，x2，…，xn∈（a，b），证明存在

使

证明：令

则[c，d][（a，b），且f(x)在闭区间[c，d]上连续，设f(x)在[c，d]上的最大值为M，最小值为m，则

由介值定理知存在ξ∈[c，d]，使

d．零点定理
如果函数

在[a，b]上连续，且

，则一定存在一点

，使得

．
【例】已知

在

上连续，在

内是函数

的一个原函数

．
（Ⅰ）求

在区间

上的平均值；
（Ⅱ）证明

在区间

内存在唯一零点．【2016数二】
解：（Ⅰ）由题意知

又因

，则

所以

则

在

上的平均值为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当

时

令

，解得

．
当

时，

，即

在

上单调递减，
又

，所以

在

上恒小于0，

在

上无零点．
当

时，

，即

在

上单调递增，又因

由零点定理可得，

在

上有唯一零点．
综上，

在

上有唯一零点．
【例】已知函数

，求

零点的个数．【2015数二】
解：

．
令

，得驻点为

．
分类讨论：
（1）当

时，

单调增加．又

，所以

在

上存在唯一零点．
（2）当

时，

，

单调减少．又

，所以

在

上存在唯一零点．
故函数

在

及

上各有一个零点，所以零点的个数为2．
【例】设f(x)在[0，2a]上连续，且f(0)＝f(2a)，证明在[0，a]上至少存在一点

，使

．
证明：设F(x)＝f(x)－f(x＋a)，则F(x)在[0，a]上连续．又

若

，则可取

或a；
若

，有

，由零点定理，至少存在一点

，使

．
综上所述，至少存在一点

，使

．

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/157533.html