Art of Problems Solving in CM 大学数学中的解题艺术

1 极限1
1.1 定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 计算求解题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 反例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 乘积极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 积分极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 复极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 泰勒估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 渐进估计14
3 中值定理与泰勒公式16
3.1 中值定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 泰勒公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 级数与积分27
4.1 泰勒级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 级数的通项. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 级数不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 级数的敛散性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 级数的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 不定积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 定积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.8 反常积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.9 二重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.10 三重积分计算技巧. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.11 多重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 积分不等式53
5.1 常见不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 绝对值不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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5.3 最值不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 嵌套形不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 实数理论与函数73
6.1 实数理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 函数问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 函数连续性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 函数的一些反例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 多元函数79
7.1 多元函数的性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 曲面方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3 曲面面积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.4 曲线积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.4.1 第一型曲线积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.5 曲面积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8 线性代数83
8.1 行列式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.2 特征值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3 多项式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.4 线性方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.5 矩阵相关概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.6 对称性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.7 正定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.8 矩阵不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.9 埃尔米特矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.10 相似. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9 复分析103
9.1 复数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10 概率论105
10.1 概率不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11 抽象代数107
11.1 群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
–4/117– 目录
12 附录108
12.1 第四届网络数学奥林匹克大学数学竞赛试题参考解答. . . . . . . . . . . 108

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