一道简单题目谢谢!

在RT三角形ABC中，角C等于90度，D是AB的中点，E、F分别在AB、BC上，且DE垂直于DF
证：EF平方=AE平方+BF平方

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[ 本帖最后由 bftgmnin 于 2007-5-5 08:25 PM 编辑 ]

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[ 本帖最后由 bftgmnin 于 2007-5-5 08:26 PM 编辑 ]

在这里问平面几何，难得，呵呵。
过D分别做AC，BC的垂线,垂足分别是E’，F’。
现在不妨设E在E’A上，那么可得到F’在FA上（另一种情况类似可证）
设角EDE’=x,那么角FDF’=x,现有基本事实DE’=CF’=BF\',DF\'=CE\'=AE\'.
由于C，E，D，F四点共圆，EF为直径，可得到EF^2=(CD/cos x)^2
而AE=AE\'-EE\'=AE\'-DE\'*tanx
BF=BF\'+FF\'=BF\'+DF\'*tanx
故：AE^2+BF^2=(AE\'^2+BF\'^2)(1+(tanx)^2)
而我们有AE\'^2+BF\'^2=CD^2,1+(tanx)^2=(1/cosx)^2

[ 本帖最后由 zhaobin500 于 2007-5-6 12:34 PM 编辑 ]

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