有奖答题---就一个极限存在的证明吧...

看我:

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-9-8 09:59 编辑 ]

这个题目的关键就是要证明{a_pn},{a_pn+1},...{a_pn+p-1}具有相同的极限.
假设存在0=<i,j<p-1,使得{a_pn+i},{a_pn+j}具有不同的极限,设前者极限为a,后者为b，他们不等。我们来证明此时{a_qn}的极限必不存在。
这是因为(p,q)=1,从而存在正整数u,v（在找到一组后我们可以保证他们是正的）,使得vq-up=1,那么ivq=i+iup,注意此时还有(iv+np)q=i+(iu+nq)p,那么可得到a_{(iv+np)q}同时为{a_nq}和{a_pn+i}的子列,故得到{a_nq}存在一子列极限趋向于a。（因为{a_{pn+i}}的极限为a，从而它的任意子列的极限也为a）
同理,也可得{a_nq}存在一子列极限趋向于b。
矛盾。
这样我们就证明了{a_pn},{a_pn+1},...{a_pn+p-1}具有相同的极限.
剩下的容易证明{a_n}的极限也为上面的极限。
呵呵 好题目

我做出来了，输不上去

Ａpn,Aqn 有共同子列Apqn所以他们有共同极限
Apn+1，Apn+1+p，Apn+1+2p,......Apn+1+(q-1)p中除以q不同余数而q的余数最多有q个所以必有一个能整除q.也就是每隔q个被q整除，也就是Apn+1qn有与A相同子列所以他们有共同极限
同理他们都与A相同子列所以他们有共同极限得证
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好的,我来试一试!

用cauchy准则

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頂█████████████頂頂頂頂頂頂頂███頂頂頂頂頂頂頂頂頂頂頂
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努力中!

[ 本帖最后由 commandant 于 2007-8-15 04:57 PM 编辑 ]

同意zhang20082008
所想

和奇子列偶子列的证名类似吧