求教一道线代证明题

rainmansky · 发表于 07-6-20 16:07:10

设 A 是n维线性空间V内的一个线性变换,且在V内存在一组基,使A在此组基下的矩阵成对角形.设 m 是A的一个不变子空间,证明M内存在一组基,使 A|m 在该组基下的矩阵成对角形.

请高手赐教

moricangyu · 发表于 07-6-21 10:12:37

不知对否？？

rainmansky · 发表于 07-6-21 17:20:51

我刚开始自己想的时候跟你想的差不多,我这样做的
由W是A的不变子空间,可知Aa 属于W,将W的一组基扩展成V的一组基,可知A在这组基下矩阵为
A1 A2
0 A3
则|kE - A| = |kE - A1| |kE - A3|
由A存在 n 个特征值(其中可能有相同的)知 |kE - A1| 有dimW个特征值,后面基本就跟你一样了.
不过后来我又想,

\"|kE - A1|有dimW个特征值\"是不是也需要证明,如果证明,应该怎么证明?
比如说:一种极端情况 A只有一个特征值 ,那么|kE - A1|有没有可能不存在满足题所要求的数域的特征值,而|kE - A3|有满足的?
高人指教,plz.

[ 本帖最后由 rainmansky 于 2007-6-21 05:25 PM 编辑 ]

moricangyu · 发表于 07-6-23 08:30:39

原帖由 rainmansky 于 2007-6-21 17:20 发表
我刚开始自己想的时候跟你想的差不多,我这样做的
由W是A的不变子空间,可知Aa 属于W,将W的一组基扩展成V的一组基,可知A在这组基下矩阵为
A1 A2
0 A3
则|kE - A| = |kE - A1| |kE - A3|
由A存在 n 个 ...

我想不用证吧？因为你当初分快的时候就是按照A1为dimw阶的方阵的标准的，而且很显然A1可逆。

ps：我对这部分理解得不是很透彻，所以以上仅供参考。

[ 本帖最后由 moricangyu 于 2007-6-23 08:32 AM 编辑 ]

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