第一讲
1. 由盛有号码为 的球的箱子中有放回的摸了n次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率.
2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率.
3. 从n双不同的鞋子中任取 只, 求下列事件的概率:
(1) (1) 没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有 双鞋子.
4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率:
(1) (1) 取得以A为打头的顺次同花色5张;
(2) (2) 有4张同花色;
(3) (3) 5张同花色;
(4) (4) 3张同点数且另2张也同点数.
思考题:
1.（分房、占位问题）把n个球随机地放入N个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。
I. I. 若这n个球是可以区分的，求（1）指定的n个格子各有一球的概率；（2）有n个格子各有一球的概率；
若这n个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k个球的概率；（2）恰好有m个空盒的概率。
2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率：
（1） （1） 五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10.
第二讲
1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于0.01?
2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的.
3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率.
4. 设A, B, C, D是四个事件, 似用它们表示下列事件:
(1) (1) 四个事件至少发生一个;
(2) (2) 四个事件恰好发生两个;
(3) (3) A,B都发生而C, D不发生;
(4) (4) 这四个事件都不发生;
(5) (5) 这四个事件至多发生一个;
(6) (6) 这四个事件至少发生两个;
(7) (7) 这四个事件至多发生两个.
5. 考试时共有 张考签, 有 个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.
6. 在§3例5中, 求恰好有 个人拿到自己的枪的概率.
7. 给定 , 求 及 .
思考题
1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a的平行线的桌面上任投一直径 为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；
第三讲
1. 件产品中有 件废品, 任取两件, 求:
(1) (1) 在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的概率;
(2) (2) 在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的概率.
2. 袋中有 只白球, b只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.
3. 敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比. 假如这三部分面积之比为0.1, 0.2, 0.7. 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.
4. 甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且规定摸到红球的将受罚.
(1) (1) 如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大?
(2) (2) 如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.
(3) (3) 如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.
(4) (4) 乙先摸是否对甲有利?
(5) (5) 如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.
5. 设事件A, B, C相互独立, 求证: 也相互独立.
思考题
1. 甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。甲先掷，以后每当某人掷出1点时则交给对方掷，否则此人继续掷。试求事件 ={第n次由甲掷}的概率.
2（赌徒输光问题）两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。在每一局中甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为q，p+q=1，每一局后，负者要付一元给胜者。如果起始时甲有资本a元，乙有资本b元，a+b=c，两个赌徒直到甲输光或乙输光为止，求甲输光的概率.
第四讲
1. 对同一目标进行三次独立射击,要害各次射击命中率依次为0.4, 0.5 和0.7. 求:
(1) (1) 三次射击中恰好一次击中目标的概率;
(2) (2) 至少一次击中目标的概率.
2. 在一电器中, 某元件随机开、关, 每万分之一秒按下面规律改变它的状态:
(1) (1) 如果当前状态是开的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于开状态的概率为 , 变为闭状态的概率为 ;
(2) (2) 如果当前状态是闭的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于闭状态的概率为 , 变为开状态的概率为 .
假设 , 并且用 表示该元件万分之 秒后处于闭状态的概率. 请给出 的递推公式.
3. 在伯努里概型中, 若 出现的概率为 , 求在出现 次以前 出现 次的 概率(可以不连续出现).
4. 甲乙丙三人进行某项比赛, 设三人胜每局的概率相等. 比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者. 若甲胜了第一、三局, 乙胜了第二局, 问丙成了整场比赛优胜者的概率是多少?
5. 一个人的血型为O、A、B、AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11和0.03. 现任选五人, 求下列事件的概率:
(1) (1) 两人为O型, 其他三人分别为其他三种血型;
(2) (2) 三人为O型, 两人为A型;
(3) (3) 没有一人为AB型.
第一讲
1. 1. 设 为重复独立伯努里试验中开始后第一个连续成功或连续失败的次数, 求 的分布.
2. 2. 直线上一质点在时刻0从原点出发, 每经过一个单位时间分别概率或向左或向右移动一格, 每次移动是相互独立的. 以 表示在时刻 质点向右移动的次数, 以 表示时刻 质点的位置, 分别求 与 的分布列.
3. 3. 每月电费帐单是由电力公司派人上门抄表给用户的. 如果平均有1%的帐单与实际不符, 那么在500张帐单中至少有10张不符的概率是多少?
4. 4. 某车间有12台车床独立工作, 每台开车时间占总工作时间的2/3, 开车时每台需用电力1单位, 问:
(1) (1) 若供给车间9单位电力, 则因电力不足而耽误生产的概率等于多少?
(2) (2) 至少供给车间多少电力, 才能使因电力不足而耽误生产的概率小于1%?
5. 5. 螺丝钉的废品率为0.01. 问一盒中应装多少螺丝钉才能保证每盒有100只以上好螺丝钉的概率不小于80%?
6. 6. 某疫苗所含细菌数服从泊松分布, 每一毫升中平均含有一个细菌, 把这种疫苗放入5只试管中, 每管2毫升, 求:
(1) (1) 5只试管中都有细菌的概率;
(2) (2) 至少有3只试管含有细菌的概率.
第二讲
1. 1. 在半径为R, 球心为O的球内任取一点P,
(1) (1) 求 =OP的分布函数;
(2) (2) 求 .
2. 2. 确定下列函数中的常数A, 使它们为密度函数:
(1) (2)
3. 3. 某城市每天用电量不超过100万度, 以 表示每天耗电量(即用电量/100), 其密度为 . 问每天供电量为80万度时, 不够需要的概率为多少? 供电量为90万度呢?
3 假设一块放射性物质在单位时间内发射出的 粒子数 服从参数为 的泊松分布.而每个发射出的 粒子被记录下来的概率均为 ,就是说有 的概率被计数器遗漏.如果个粒子是否被记录是相互独立的,试求记录下的 粒子数 的分布。
4. 4. 设 , 求 , 使 (1) (2) .
5. 5. 若 , 求方程有实根的概率.
第三讲
1. 1. 试用 的分布函数 表示下列概率:
2 设二维随机向量 的密度函数为
(1) (1) 确定常数A；（2）求分布函数 ；（3）求 的边际密度；（4）计算概率 ；（5）计算概率 (6) .
3. 3. 设随机变量 与 相互独立, 且 , 又
, 定义:
问 取什么值能使 独立?
第四讲
1. 1. 设 服从圆 上的均匀分布,
(1) (1) 求 各自的密度;
(2) (2) 判断 与 是否相互独立.
2. 2. 设 的密度函数为 , 求证 与 相互独立的充分必要条件为 可分离变量, 即 . 此时 与边际密度有何关系?
3. 3. 利用上题的充分必要条件判断 与 的独立性, 若它们的密度函数为:
(1)
(2)
第五讲
1. 四张小纸片分别写有数字0, 1, 1, 2. 有放回地取两次, 每次取一张, 以 分别记两次取得的数字, 求 各自的分布以及 的分布.
2. 2. 设 是独立随机变量, 分别服从参数为 及 的泊松分布, 试直接证明:
(1) 服从参数为 + 的泊松分布;
(2)
3. 3. 若 服从 上的均匀分布, 求 的密度.
4. 4. 设 独立同分布，且都服从 上的均匀分布，求 的密度函数.
5. 设 独立同分布, 且都服从 分布，求 的分布密度.
第六讲
1. 在线段 上随机投掷两点, 求两点间距离的密度函数.
2. 设 相互独立，且都服从参数为1的指数分布，求 与 的联合密度,并分别求出 与 的密度.
3. 设 的联合密度为：
求 的联合密度.
4. 设 服从二元正态分布 求 与 相互独立的充分必要条件.
第一讲
1. 1. 某人有 把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这 把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的数学期望. 假设:
(1) (1) 每次使用过的钥匙不再放回;
(2) (2) 每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.
2. 2. 设随机变量 分别具有下列密度, 求 :
3. 3. 设分子的速度的分布密度有马克斯韦尔分布律给出:
分子的质量为 , 求分子的平均速度和平均动能.
第二讲
1. 1. 设事件A在第 次试验中出现的概率为 , 是在 次独立试验中A出现的次数, 求 .
2. 某人有 把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这 把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的方差. 假设:
(1) (1) 每次使用过的钥匙不再放回;
(2) (2) 每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.
3. 某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量.他们估计出售该产品一件可获利 元,而每积压该产品一件导致 元的损失。另外，该产品的销售量 预测服从参数 的指数分布。问若要获得最大利润，应安排生产多少件产品？
4. 4. 设 只取值于 , 求证
5. 5. 设二维随机向量 的分布密度为
求协方差矩阵.
思考题
1. 设袋中装有m只颜色各不相同的球. 有返回地摸取n次, 摸到 种颜色的球. 求 .
第三讲
1. 1. 设 为常数, 同号, 求证 的相关系数等于 的相关系数.
2. 2. 设随机变量 的数学期望都为0, 方差都为1, 两两间的相关系数都为 , 求 与 之间的相关系数.
3. 3. 设 都是只取两个值的随机变量, 求证: 如果它们不相关, 则它们独立.
思考题
1. 1. 设 ,求证:
2. 2. 设 . 证明:
.
第四讲
1. 1. 求下列分布的特征函数:
(1)
(2) 服从 上的均匀分布;
(3) 服从参数为 的指数分布.
2. 2. 设 是特征函数, 求证下列函数也是特征函数:
3. 3. 证明下列函数是特征函数, 并找出相应的分布.
思考题
1. 1. 试举例说明在逆极限定理中, 在 处连续这一条件不能少.
2. 2. 当 独立时, 则有
第一讲
1. 1. 下列分布函数列是否弱收敛于分布函数?
2. 2. 设 为独立同分布随机变量序列, 的分布列为 , .求证 的分布收敛于[-1,1]上的均匀分布.
第二讲
1. 1. 设某车间有200台同型机床，工作时每台车床60%的时间在开动, 每台开动时耗电1千瓦. 问应供给该车间多少千瓦电力才能有0.999的把握保证正常生产？
2. 2. 一家火灾保险公司承保160幢房屋, 最高保险金额有所不同, 数值如下表所示:
最大保险金额(万元) 10 20 30 50 100
投保房屋数 80 35 25 15 5
假设: (1) 每幢房屋每年一次理陪概率为0.04, 大于一次理陪概率为0;
(2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立;
(3)如果理陪发生, 理陪量从0到最高保险金额间的均匀分布.
记N为一年中理陪次数, S为理陪总量,
a. 计算N的数学期望和方差;
b. b. 计算S的数学期望和方差;
c. c. 确定相对保证附加系数 , 即 (每份保单保费收入–平均理陪量)/ 平均理陪量, 以确保保险公司的保费收入大于理陪总量的概率等于0.99.
3. 3. 设 为独立同分布, 其分布列为泊松分布. 记 计算 的特征函数, 并求 时的极限, 从而验证林德贝格–勒维定理在这种情况成立.
4. 4. 设 各自独立同分布, 也相互独立. . 求证: 的分布函数弱收敛于
思考题
1. 利用中心极限定理证明:
第三讲
1. 设 独立同分布, 密度为 , 令 , 求证:
.
3. 3. 求证: (1)若 , , 则
(2)若 , , 则
4. 4. 设 独立同分布, 都服从[0,1]上的均匀分布, 令 , 求证: 并求出常数 .
思考题
1. (蒙特卡罗方法) 设 是定义在[0,1]上的连续函数, 且取值于[0,1]. 现在平面的正方形 上做随机投点试验, 记 为所投点落在区域
内的频率. 试说明当投点次数充分多时, 可充分接近积分值
概率论试卷（一）
一、填充题（每空格3分）
1.若 ,则P(A∪B)_____P(B).
2.设ξ服从参数为λ的普阿松分布,P(ξ=1)=P(ξ=3),则λ=_____.
3.设 ～N(0,1),i=1,2,…,n; 相互独立.则_____～ (n)分布.
4.设ξ,η互不相关,则Var(2ξ-η)=_____.
5.参数λ=1的指数分布的特征函数是__________________________.
二、是非题（每小题3分）（先回答‘对’或‘错’再简述理由）
1.设(ξ,η)为连续型随机向量,如果联合密度等于各自边际密度的乘积,则ξ,η相互独立.
2.随机变量ξ,η相互独立的充分必要条件是E(ξη)=Eξ•Eη.
3.设{ }为独立同分布随机变量序列, ～N(a, ), = ,则 也服从N(a, ).
4.设随机变量 与ξ的特征函数分别为 与f (t). 若 →f (t),(n→∞),则 .
三、（16分）设ξ,η相互独立，均服从p(x)= .
（1）求U=ξ+η与V=ξ/(ξ+η)的联合密度；
（2）判断U与V是否独立；
（3）求V的密度函数.它服从怎样的分布？
四、（16分）已知( ～N(1,0; .
（1）写出 的特征函数与密度； （2）求E ,Varη；
（3）求Cov( )； （4） 与η相互独立吗？为什么？
五、（10分）某商店某种食品一块从上柜到销售出去时间（天）服从参数为λ=1/3的指数 分布.若一块这种食品六天内卖不出去，就要另行处理，不能再卖.该店每天新上柜这种 食品100块，求（六天后）平均每天另行处理的这种食品的数量.
六、（8分）设{ }相互独立，P{ , P{ ,
P{ , k=1,2,…. 求证： .
七、（15分）(1)设 ，求证： .
(2) 设 （常数），求证 .
八 、（8分）设 的密度为 ，n=1, 求证：
概率论试卷（二）
一、填充题（每空格3分）
1.古典概型是具有条件¬¬¬¬¬¬________________________________________的随机试验模型.
2.设(ξ,η)～N(0,1;1,4,0.5)，则ξ,η分别服从_________________________________.
3.设 的特征函数分别为 , 相互独立. 则( )的特征函数为 ______________.
4.从1,2,3,4,5五个数字中任取三个，所得号码中最大的为ξ, 则ξ的分布列为 ______________.
二、是非题（每小题3分）（先回答‘ 对’与‘错’，再简述理由）
(1)设随机变量ξ的密度函数为p(x)= ，则η=1-2ξ的密度为
q(y)= .
(2)Varξ=1,Varη=4,则Var(2ξ+η)=8.
(3) (t)=sint是某随机变量的特征函数.
(4)设分布函数 与F(x)对应的特征函数分别为 与f (t)，若 则
→f (t).(n→∞).
三、（12分）甲乙两厂独立生产同类产品，生产一级品的概率各为 .某店分别有甲乙 两厂的该类产品3件与7件.
（1）求它们都是一级品的概率；
（2）在这10件中任取一件，求它是一级品的概率;
（3）在这10件中任取一件，发现是一级品，求它是甲厂生产的概率.
四、（10分）随机变量ξ的分布列为P(ξ=2k)=3 / ,k=0,1,2,….
（1）求Eξ；（2）求ξ的特征函数.
五、（17分）( )的联合密度为p( )= .
求：（1） 与 的联合密度；（2） 的密度；
（3）E( )； （4）Var( ).
六、（12分）设 相互独立，都服从正态分布N( ).
（1）写出其联合分布的密度函数；
（2）求证： 服从正态分布N(n );
（3）求证：对任意正交变换U，η=Uξ（其中ξ=( ）各分量也相互独立， 同 方差.
七、（15分）（1）正确叙述并证明林德贝格—勒维中心极限定理.
（2）某种电子元件使用寿命服从λ=0.1（单位（小时 ）的指数分布.一个元件损坏后 第二个接着使用.求100个这类元件总计使用时间超过900小时的概率.
八、（10分）设{ }为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理. 则它服从大数定律 的充分必要条件是 =o(1)，试证明之.
概率论试卷（三）
一、填充题（每空格3分）
(1)若P(A)=0.5, P(A∪B)=0.8, 则当A与B相互独立时，P(B)=____, P(A--B)______.
(2)设Var =4, Var =9, 相关系数 =1/4, 则Var(2 +5)=_______.
(3)设 ～B(n,p)，则 的特征函数为__________________.
(4) 独立同分布，E =a,Var = , 则林德贝格—勒维中心极限定理是说：
________________________________________________________________________.
二、是非题（每小题3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由）
(1)设随机变量 的分布函数为F(x)，则对任意常数a，P( =a)=0.
(2)若Var( Var +Var ，则 与 不独立.
(3)设随机变量 , 的特征函数分别为 , . 若随机向量( , )的特征函数
f(t,t)= , 则 , 相互独立.
(4)设随机变量 , 的分布函数分别为 (x)与F(x)，特征函数分别为 与f(t).
若 →f(t), (n→∞), 则 .
三、（10分）随机变量 ～N(a, ). (1)求证 +b～N(ka+b, )，(k≠0);
(2)求 的密度函数.
四、（17分）( )的联合密度为p(x,y)= ，
(1)求边际密度；(2) 求E ,E 及COV( ).
五、（8分）某人每月收入 服从[600,1200]上的均匀分布. 当月收入超过800元时应交个 人收入调节税. 问此人平均每年有几个月要交该项税款？
六、（8分）随机变量 的分布列为P( =k)=2/ ,k=0,1,2,….
(1)求E ; (2)求 的特征函数.
七、（10分）设 为两列随机变量， 0). 求证
.
八、（20分）设 为独立同分布的随机变量序列，都服从U[-1,1]. 求证:
(1) 依分布收敛于N(0,1);
(2) 依分布收敛于N(0,1).
浙江大学2003 - 2004学年第一学期期末考试
《概率论》课程试卷
开课学院：___________________________ 任课教师：________________________
姓名：____________ 专业：__________ 学号：________________考试时间：_____分钟
题序 一 二 三 四 五 六 七 总分
得分
评卷人签名
一、（15分）给出下列定义
1． 1． 概率的公理化定义
答： 为样本空间， 为事件域。概率是定义在 上的实值集函数： , 并且满足下列条件：
（1）（非负性）对任一 ；
（2）（规范性） ；
（3）（可列可加性）若 是 中两两互不相容的事件，则
。 ----------------------(5分)
2． 2． 随机变量
答：设 是定义在概率空间 上的单值实函数，且对于 上的任一波雷尔集 有
就称 为随机变量。-----------------------------------------（5分）
3．（弱）大数定律
大：设 是定义在概率空间 上的随机变量列，如果存在常数列 和 使得
则称 服从（弱）大数定律。----------------------------------（5分）
二、（14分）投掷 次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。
解 若 为奇数, 显然, 出现正反面次数不可能相等, 故所求概率为0；若 为偶数,“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各 次”， 投掷 次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为： 。故所求为： 。
三、（15分）设随机变量 具有对称的分布密度函数 ，即 ，记它的分布函数为 。证明对任意的 ，有
（1） ；
（2） ；
（3） 。
解（1）由于 , 故
， ，
因而
，
，
即证（1）式；---------------------------------------------------（7分）
（2）由（1）式， ，即得（2）式；-------------------------------------------------------（4分）
（3）由（2）式， 即得（3）式。
---------------------------------------------------------------（4分）
四、（14分）设 为 次独立试验中事件 出现的次数，若已知第 次试验时事件 出现的概率为 ，求 。
解 记 ，
则由题意， 。------------------------（6分）
显然： ，由期望，方差性质：
--------------------（8分）
五、（14分）已知随机变量 与 的相关系数为 ，求 与 的相关系数，其中 均为常数， 皆不为0。
解 由于
--------------（6分）
-----------------（4分）
注意到 与 的相关系数为 ，故
----------------------------------------（4分）
六、（14分）设 的联合概率密度函数为 ，记 ， ，求 与 的联合密度，并证明它们之间相互独立。
解 作变换 ，得 ，其雅可比行列式为 ，
--------------------（4分）
则 的联合概率密度函数为
----------------（8分）
为可分离变量，故 与 相互独立。-------------（2分）
七、（14分）设 是相互独立的随机变量序列，都服从参数为 的指数分布。记
通过计算 的特征函数证明 服从中心极限定理。
证： 由于 是相互独立的随机变量序列，都服从参数为 的指数分布，故
其特征函数为 ---------------（4分）
由特征函数性质， 的特征函数为：
，
故 的特征函数为： 。--------------（4分）
根据级数展开，可得
由逆极限定理，证毕。------------------------------------------------------------------（4分）
概率论试卷（五）
一、填充题（每空格3分）
(1)概率论的公理化定义中，概率是______________________________________.
(2)设( )～N(0,1;1,4,1/2)，则COV( )=______________.
(3)设营业员在单位时间接待顾客数服从参数为 的普阿松分布，则该营业员在接待两位 顾客之间的“等待时间”服从_______________分布.
(4)设_________________________, 则t= ～t(n)分布.
二、是非题（每小体3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由）.
(1)若一次试验中事件A发生的概率为p，则5次重复独立试验中事件A至少发生两次 的概率为 .
(2)设 相互独立，则它们两两不相关.
(3)f(t)=1/(1 是某随机变量的特征函数.
(4)设 ～N(0,1), ～N(1,4)，相关系数 =1/2，则( )～N(0,1;1,4,1/2).
三、（18分）随机变量 的密度函数为p(x)= , .
(1)求 的密度；(2)求 的密度；
(3)求E ； (4)求Var ;
(5)求概率P( < ).
四、（10分）5张卡片上各写号码1,2,3,4,5. 有放回地抽出3张卡片，求其上号码总和的数 学期望和方差
五、（12分）设随机向量( )的联合密度为
p(x,y)= )}, .
(1)求证 与 相互独立；
(2)判断 各自服从什么分布（密度，名称）？
六、（8分）某计算机系统有60个终端，每个终端有40%的时间在试用；若各终端使用与 否是相互独立的，求同时有多于40个终端在使用的概率. 已知:
x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.0 2.5 3.0
Φ(x) 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.977 0.994 0.999
七、（8分）设f(t)是特征函数，求证 与|f(t) 也是特征函数.
八、（8分）设 独立同分布，密度为 p(x)= ， .
求证: .
九、（12分）设 和 是一列随机变量，求证：
(1)如果 ，则 ；(2)如果 ，(c为常数)，则 .
概率论试卷（六）
一、填充题（每空格3分）
(1)设事件AB C，则P(A)+P(B)______1+P(C).
(2)若Cov( )存在，则对任意常数a,b，Cov(a )=______________.
(3)设{ }为独立同分布随机变量序列， ～N(a, ), .则 ～________.
(4)关于 的方差和数学期望之间的关系式—切贝晓夫不等式是指__________________
_____________________.
(5)在1500件产品中设有100件次品，任取10件，则抽到次品数的数学期望为
_______________________.
二、是非题（每小题3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由）
(1)某人射击，每次中标的概率为p. 连续射击，击不中即停，限射5次. 则他射击次数 服从参数为p的几何分布.
(2)Var( -- )=Var +Var 的充分必要条件是 与 互不相关.
(3)设 , 的特征函数分别为 (t)与 (t)，且它们联合分布的特征函数 f( ，则 , 相互独立.
(4)设随机变量 , 的分布函数分别为 与F(x)，若 F(x)，则
.
三、（21分）设 , 相互独立，都服从参数为1的指数分布.
(1)写出( , )的联合密度和联合分布函数；(2)计算P( + <1)；
(3)求η=max( , )的密度； (4) 计算E ； (5)计算Var( )；
四、（7分）设 ,…, 的数学期望都为0，方差都为1，两两间相关系数都为ρ.
求 与 的相关系数.
五、（13分）设(ξ,η)的联合密度为p(x,y)= exp{ },
--∞<x,y<∞.
(1)求 与 的联合密度；(2)判断 是否相互独立；
(3) 各自服从什么分布（密度，名称）？
六、（7分）设ξ为随机变量，f(x)是(0,∞)上非负单调不减函数，求证:
对任意x>0，P(|ξ|>x) .
七、（15分）(1)正确叙述并证明林德贝格—勒维中心极限定理；
(2)某校共学生1200名，假定一学生连续不断用水一小时需水1/2吨. 问每天用水高峰时 每小时要供应多少吨水才能有95%的把握保证学生用水？（已知Φ(1.65)=0.95）（最后 结果保留一位小数）.
八、（10分）随机变量序列 , 相互独立，都服从N(0,1)分布， 为常数列. 求证： 的充分必要条件是 .
概率论试卷（七）
一、填充题（每空格3分）
(1)同类产品10件，内含3件次品. 从中任取5件，得次品数为2的概率是___________.
(2)设Varξ=Varη=Var(ξ--2η)=1, 则COV(ξ,η)=_____________.
(3) 设f(t)=q+p ，(q=1--p,0<p<1). 则f(t)是分布_________________________________ 的特征函数.
(4)对随机变量序列 ，如果_______________________________________________， 就称 服从中心极限定理.
二、是非题（每小题3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由）
(1)设随机变量ξ的密度函数为p(x)= ，则 的密度为
q(y)=
(2)若 互不相关，则 相互独立.
(3)若f(t)是实的特征函数，则f(t)一定是偶函数.
(4)设 的特征函数分别为 与f(t). 若 ，则 →f(t), (n→∞).
(5)设ξ,η为任意两个随机变量，则E(ξη)=Eξ•Eη.
三、（16分）设(ξ,η)联合密度为p(x,y)= ，
(1)求常数A； (2)求边际密度函数；
(3)判断ξ,η是否独立； (4)求P(ξ<η).
四、（8分）随机变量ξ服从[--1/2,1/2]上的均匀分布，η=sin . 求Eη,Varη.
五、（12分）随机向量 服从联合正态，E = E =0, E =1,Var =4,
Var = Var =1, =1/2, =--1/2, =0.又设 = -- , = + ，求：
(1) ( 的分布； (2) ( 的分布；并问 , 是否独立？
(3) 的密度函数.
六、（10分）设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时一天全部停止工
作.若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障，只能获利5万元； 发生二次故障则获利0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利 润是多少？
七、（6分）设ξ,η为两个随机变量，求证：|Eξη| .
八、（12分）(1)正确叙述并证明辛钦大数定律；
(2)随机变量序列 相互独立，P( = ,k=1,2,…. 求证: ; 并求出常数c.
九、（9分）设 和 是两列常数，F和 是分布函数列，如果 →a(≠0)，
→b, F,(n→∞), 求证： |
收藏
点赞!
反对!
