每日一练(10.30)----矩阵正定

wmlln1219心动 · 发表于 07-10-30 23:16:24

1: “必要性”:因为A,B,AB均为n阶正定矩阵, 所以A,B, AB均为n阶实对称矩阵, 即AT=A,BT=B, 所以AB=(AB)T=BTAT=BA。
2:“充分性”：
  1：因为AB=BA,所以（AB）T=BTAT=BA=AB，所以AB是对称阵。
  2：对于A，存在可逆阵P，使A=PTP，对于B，存在可逆阵Q，使B=QTQ
所以Q-1ABQ=QPTPQTQQ-1=（PQT）TPQ，因为（PQT）T(PQT)正定，所以AB与一个定阵相似
  由1，2，所以AB也正定。

PS:要是我做对了请加分~我怎么经常做的没分拿啊

[ 本帖最后由 wmlln1219心动于 2007-11-1 12:28 编辑 ]

ydhcg · 发表于 07-10-31 23:00:33

好难。。。。高手！

proguser · 发表于 07-11-1 08:41:01

高手.佩服.

jsznbzas2008 · 发表于 07-11-1 15:18:13

坚持的很好啊

522072785 · 发表于 08-7-30 23:24:37

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#2发表于 2007-10-30 23:16 资料个人空间短消息加为好友
1: “必要性”:因为A,B,AB均为n阶正定矩阵, 所以A,B, AB均为n阶实对称矩阵, 即AT=A,BT=B, 所以AB=(AB)T=BTAT=BA。
2:“充分性”：
1：因为AB=BA,所以（AB）T=BTAT=BA=AB，所以AB是对称阵。
2：对于A，存在可逆阵P，使A=PTP，对于B，存在可逆阵Q，使B=QTQ
所以Q-1ABQ=QPTPQTQQ-1=（PQT）TPQ，因为（PQT）T(PQT)正定，所以AB与一个定阵相似
由1，2，所以AB也正定。
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