请教一道01年真题(矩阵)

请问大家啊,数四01年填空题
矩阵A=
k 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1
1 1 1 k
A的秩为3 ,则K=?
我是通过A的行列式=0,得到K=-3(K=1舍去).

今天在李永乐的历年真题解析里(193页),他的评注是"用特征值的方法,理论更简捷的解本题"
这题用特征值怎么解啊,麻烦大家说说思路,给点提示?

就是下面这样：

谢谢X851109~
最后那个式子的\"2\"要换成\"3\"哦~
大家取得好成绩哈~
P.S. 好像也没比我原来的方法简捷很多啊...
会不会还有更巧妙的方法?

对，应该是3，之前当成3阶矩阵计算了，后来改的时候忘了

矩阵A=
k 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1    可以拆成 一个全为1 的矩阵 ＋ (k-1)E
1 1 1 k

全为1 的矩阵 的秩为1 ，它的特征值 为 3个 0 和一个 4 ，所以A 的特征值为 3个 k-1 和一个 k+3

由于 A 是对称阵，可以相似于对角阵，秩为 3 ，所以 k+3=0 ,即 k=-3

PS:网络问题，写了两次

[ 本帖最后由 honghu069 于 2007-12-30 15:54 编辑 ]

楼上的方法更好

谢谢大家.基本明白.
全为1 的矩阵 的秩为1,特征值为 0,0,0,4;
(k-1)E的矩阵 的秩为3,特征值为k-1,k-1,k-1,k-1.
凑出A的特征值是 k-1 , k-1 , k-1 , k+3
太谢谢了~~:)

[ 本帖最后由 colleen912 于 2007-12-31 15:24 编辑 ]

很不错 [s:2]