苏州大学数学试题

苏州大学部分试题 苏州大学2000研究生入学考试——高等代数
1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足：
     （1）
    （2）
证明： 能整除 。
证明：  （3）
将（3）带入（1）中，得到：
．
注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2．（14分）设A是n r的矩阵，并且秩（A）= r，B，C是r m矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。
证明：
，即方程 ．
  
3（15分）求矩阵 的最大的特征值 ，并且求A的属于 的特征子空间的一组基。
解： ，
当 时，求出线性无关的特征向量为 ，
则  是 的特征子空间的一组基．
４(14分)设  ．
解： 不妨设
则矩阵 对应的特征值为：
故
５(14分)设A,B都是实数域R上的 矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等．
证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：
利用构造法，设 ，令 ，
，两边取行列式得
．（１）
，两边取行列式得
．（２）
由（１），（２）两式得 ＝
．（３）
上述等式是假设了 ，但是（３）式两边均为 的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（ ），从而一定是恒等式．
注：此题可扩展为Ａ是 矩阵，Ｂ是 矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系： ，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式．
６．(14分)设A是 实对称矩阵,证明： 是一个正定矩阵．
证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．
设 为Ａ的任意特征值，则 的特征值为 ．
故 是一个正定矩阵．
７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设 但是 ．证明： 是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．
证明： 令 ．（１）
用 左乘（１）式两边，得到 ．
由于 ， ，带入（１）得 ．（２）
再用 左乘（２）式两端，可得 ．
这样继续下去，可得到 ．
线性无关．
＝  ．
Ａ在此基下的矩阵为 ，
可见, ,
即A的核的维数为1．
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