请教一个微积分的问题

claire66 · 发表于 08-7-2 22:41:36

反函数的连续性：如果函数在区间上单调且连续，那么它的反函数在对应的区间上单调且连续。
反函数的可导性：设函数在某区间上单调，可导，则其反函数在对应区间上也可导。
我的问题是：为什么反函数的连续性和可导性都要以“单调”为前提呢？
请大家帮忙解答啊！谢谢！

yuzhaoyu · 发表于 08-7-3 00:02:50

只有单调才能保证它一定有反函数哦

claire66 · 发表于 08-7-3 10:15:28

原帖由 ecco 于 2008-7-2 23:15 发表
只有单调才能保证它一定有反函数哦

恩，确实单调函数一定有反函数，但是不单调的函数只要x和y一一对应也有反函数啊，例如y=1/x，为什么定理不以“一一对应”为前提而以“单调”为前提呢？

85137515 · 发表于 08-7-3 11:21:05

这里的单调指的是定义区间内单调，也就是在满足在每个定义区间内单调即可。

flowater · 发表于 08-7-3 16:41:31

我们通常所说的函数是指：对于定义域的任意量都有唯一的量与之对应。要注意“唯一”。其实“单调”只是保证“唯一”的必要条件。建议看看复变函数论中单叶函数以及单值解析函数的概念

flowater · 发表于 08-7-3 16:44:08

说错了，单调只是充分条件

智轩 · 发表于 08-7-3 17:22:03

原帖由 claire66 于 2008-7-2 22:41 发表
反函数的连续性：如果函数在区间上单调且连续，那么它的反函数在对应的区间上单调且连续。
反函数的可导性：设函数在某区间上单调，可导，则其反函数在对应区间上也可导。
我的问题是：为什么反函数的连续性和 ...

如果函数不单调，就可能在某一区间不存在一一对应关系，那么在该区间反函数就可能不存在。

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