帮忙看看这个命题是否正确！

chhwj82 · 发表于 08-7-3 08:49:30

若单调数列｛xn｝有一收敛的子数列，则数列｛xn｝必收敛。

85137515 · 发表于 08-7-3 11:25:11

应该是正确的，由于收敛和不收敛是在无穷数列中定义的，此数列有一收敛子数列，可以推出此数列有界，单调有界必收敛。

lykwinner · 发表于 08-7-4 15:28:21

有收敛子序列能推出原数列有界吗？

lykwinner · 发表于 08-7-4 15:44:16

当然，这个命题还是正确的，证明方法的话，需要一点构造技巧，加上夹逼法

butonggaoxiang · 发表于 08-7-4 16:42:15

2楼正解。我觉得详细可为：
由于收敛和不收敛是在无穷数列中定义的，所以对于任意Xn，总能找到一个Xn+m属于这个收敛子数列，
若收敛子数列为单调递增有上界M，则{Xn}也单调递增，且Xn<Xn+m<M，即有上界。
若收敛子数列为单调递减有下界m，则{Xn}也单调递减，且Xn>Xn+m>m，即有下界。
故{Xn}收敛。

lykwinner · 发表于 08-7-4 17:02:03

2楼开始并未加上单调这个条件。而是从有收敛子序列直接推得数列有界。这样是不对的。
考虑下面的例子

butonggaoxiang · 发表于 08-7-4 17:19:01

楼上显然孤立地看待了二楼的回答

lykwinner · 发表于 08-7-4 17:40:41

恩，的确有点断章取义了，

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