请教智轩老师几道数学题--老师又有两道新题哦

智轩老师您好!想请教您几道题

求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(一共3道题)
1.
这道题的初始条件是:x=0,y=0,y'=-1
这道题是同济五版课本P293,习题12-6,第2题的第(2)小题.
这道题的问题在于:最后的结果ln(ax+1)是不是少了一个绝对值符号,也就是说应该是ln|ax+1|


2.
这道题是同济五版课本P293,习题12-6,第2题的第(5)小题.情况类似第1题
问题是:在这道题的第5行,为什么y'选取的正值?


3.
这道题是同济五版课本P293,习题12-6,第2题的第(6)小题.情况类似第1题
这道题的疑问在于:ln(1-p^2)是不是应该加绝对值符号?



[ 本帖最后由 sophialll 于 2008-7-4 19:28 编辑 ]

感谢智轩老师的耐心解答
下面还有两道题
4.
这道题是同济五版高数课本P301习题12-7,第5题
已知一个齐次线性方程的一个解是e^x,求通解.
想问的是,这个题的解题方法是不是解这类题的通用方法和唯一方法?
因为我在数学课本上没有发现相关的解法,所以感觉很疑惑,不是特别理解.

5.
这道题是同济五版课本P301习题12-7,第6题
这道题的思路是不是应该是这样的:
(1)先根据齐次线性方程的一个特解y1求出另一个特解y2,方法同上面的第4题.
(2)根据常数变易法,直接可以得到通解为:

这道题的答案里有点不对头,
首先,答案里说:\"y2=xu是非齐次线性方程的解.\"个人感觉应该改为:\"y2=xu是齐次线性方程的解.\"
其次,应该把y2=xu代入齐次线性方程整理,而不是非齐次线性方程.因为只有代入齐次线性方程才能得出u\"=0这样的值.
再次,答案里令u=x,可以这样做吗?感觉是不是太随意了?u的取值随便一个值都可以吗?
最后,它这个方法做麻烦了,其实一步就搞定了.直接把y=ux代入非齐次线性方程就行了,直接积分就可以算出来,根本用不到常数易变法.
不知道对不对,请老师指教.谢谢!







[ 本帖最后由 sophialll 于 2008-7-4 14:57 编辑 ]

我正在给你解答，请稍候。

1。你的理解是对的。
2。原题必须默认y>=0.
3。你的理解是正确的，这个解法在同济六版的习题解答书中已经按照你的理解改正。

感谢老师的解答,非常细心,谢谢
二楼还有两道题问老师,等待您指点迷津,谢谢!

谢谢老师，大家在微分方程里碰到许多默认规则，老师能不能点一下，

我感觉解这些方程求解不难，就是有时候许多潜规则不知道而不敢下手啊。。。。。。。

老师呢,老师好,还有两道题了...

第5题：是典型的参数变易法，解法具有一般性。
第六题：你的理解是错误的，参数变易法既适合齐次方程，也适合非齐次方程；该公式是在已知对应的齐次方程两个特解的情况下求非常系数非齐次方程通解的一般方法。四川教材上有。
第七题：解法正确，不知你的疑惑在哪里？

[ 本帖最后由 智轩 于 2008-7-4 22:07 编辑 ]

我觉得求非齐次线性方程的通解的方法应该是这样的:

方法1.
(1)求出齐次线性方程的两个线性无关的特解y1和y2
(2)利用已经求出的齐次线性方程的两个特解和常数变易法求出非齐次线性方程的通解.

方法2.
(1)求出齐次线性方程的通解Y(x)
(2)求出非齐次线性方程的一个特解y(x).
(3)那么非齐次线性方程的通解就是y=Y(x)+y(x)

方法3
直接积分法.这种做法在同济五版课本P300例4

再回过头来看第5题(也是第6题,是同一道题)

答案明显是采用的方法1.
也就是先求齐次线性方程的两个特解y1和y2
然后用的常数变易法.

而您看一下答案是怎么做的?

它把y1=ux代入了非齐次线性方程里.这里明显是错的嘛
现在需要求的是齐次线性方程的另一个特解,自然应该代入齐次线性方程.怎么可能代入非齐次线性方程呢?

我目前有事不能脱身，我会仔细研究后，答复你。