关于角动量及其z分量的矩阵

Galois:
在上一次的作业中有一道题是关于角动量各分量的矩阵的题，那里是一个三阶矩阵。

有的同学提出疑问：角动量和其z分量有无限多个共同本征态（如你所知，所有球谐函数都
是 l^2和 lz 的共同本征态），为甚么那道题里在角动量和其z分量的共同表象里矩阵不是无
穷阶而只有三阶？

大家谈谈自己的看法！

RYU:
我觉得是不是可能别的态的叠加系数都是0呀，
比如在能量本征态下，
如果体系的能量有限，
这时基矢（对应能量值）应该也是有限的吧？

Galois:
“是不是可能别的态的叠加系数都是0呀”
不管矩阵元或者分量值是否为零，某一表象是多少维是确定的，也即力学量的本征态是有限
个还是无限个是确定的。
而且，毫无疑问，角动量及z分量有无穷多个线性独立的本征态（相应于无穷多个本征值）

Track:
欧认为之所以，Lx算苻的是三阶的是因为这个矩阵是在Lx
的本征空间的一个子空间下求得的，既是l=1时求得的。
也就是说如果波函数可以由l=1的三个本征函数叠加出来
也就是所波函数在这个子空间里，那么，在这个子空间里，Lx的矩阵就是那个矩阵。反之，
如果Lx所作用的波函数不能由l=1，m=-1,0,1这三个本征函数叠加出来，那么Lx作用在这个
波函数，相应的矩阵就不是三阶的了。
总之，偶的意思就是认为Lx的矩阵之所以是三阶的，是因为它是在一个子空间下求得的

oo7:
考虑到 l=1的隐含条件.就应该是三维的了吧.
对(H,L^2,Lz)的表象,维数应该是有限的.因为在这个表象里,量子数l是恒定的.

Galois:
"对(H,L^2,Lz)的表象,维数应该是有限的.因为在这个表象里,量子数l是恒定的"

1. 一般情况下，H 与 L 并不对易，只有球对称体系才能得出二者对易

2.即使对易，它们的共同表象也不是有限维。表象的维数取决于共同本征态的个数，而球谐
函数有无数个

3.关于这个问题，track的回答基本正确，但表述存在含混不清之处。

4.关键在于 那道作业题之所以有 lx ly lz 是三阶矩阵，是因为我们有个前提，即总角动量量
子数为 1 。从表象观点，我们实际上是在 （L^2 , Lz）表象（无限维）的一个3维封闭子空
间（满足总角动量量子数为 1 的子空间）中处理问题。

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