有关“海涅定理”的一些问题

高等数学第一章有一个海涅定理，表述如下：
lim(x趋向于x0)f(x)=A的充分必要条件为  对于任意以x0为极限的数列{Xn}(n趋向于无穷，Xn不等于X0),则相应的函数值数列{f(Xn)}收敛于A，即lim(n趋向于无穷）f(Xn)=A
问题一：海涅定理一般应用于何处？
问题二：为什么定理中要求Xn不等于X0？如果等于的话，会对定理产生什么影响？
问题三：（2008年考研数学一）
            题目：已知f(x)在实数范围内单调有界，{Xn}为一数列，
            请问：函数值数列{f(Xn)}与数列{Xn}之间有什么关系？

朋友，海涅定理数一不需要会，是数学专业的，我学的！

我感觉一般用于极限的证明，以前做过证明极限不存在的时候用过这个。
因为函数F不一定在X0处有定义的。
第3个 感觉好像没什么关系，[s:10] 定义域和值域能有什么关系的....

回答的很好，o(∩_∩)o...