2005年中山大学试题解答

华  中  师  范  大  学
2005年研究生入学考试试题（高等代数）
1、（15）设A是数域P上的 阶矩阵，D是 阶矩阵， ，并且 ,证明 。

2、（15）设A是数域P上的 矩阵， 是齐次方程组
的线形无关的解， ，证明 线形无关。

3、（30）设P是数域，
，
（1）        证明V关于多项式的加数乘多项式构成数域P上的线形空间；
（2）         规定 证明A是V的线形变换；
（3）        求线形变换A在基 上的矩阵。

4、（20）设A是 阶复矩阵，  是A的所有非零的特征值，
   1）证明 是可逆矩阵，并求 ；
2）求 的所有特征值。



5、（20）设A是n阶正定矩阵，B是n阶半正定矩阵，
（1）证明 是n阶正矩阵；
（2）求实的可逆矩阵T，使得 是对角矩阵，并说明主对角线上的元素

6、（20）设 是n阶矩阵， 是主对角线上的元素之和， 表示数域P上所有二阶构成的集合， 规定
               ，
（1）        证明 是线形空间 线性函数；
（2）         是 的一组基
求 上的线性函数g，使得

7、（30）设V是数域P上的线性变换， 的最小多项式是 表示A的核， 表示A的值域，证明：
（1）V中存在一组基，使A在这基下的矩阵是对角矩阵；
（2） ，其中E是V的恒等变换；
  （3）

华  中  师  范  大  学
2005年研究生入学考试试题（数学分析）
一、（共45分）求下列极限或指定函数的值：
1（10分）求 ；
2、（10分）求 ；
3、（10分）求 ；
4、（15分）设f(x)在x=0的邻域二阶可导，且
           求 的值。

二、（15分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上可导，且在（a,b）上 ，
           证明：存在 。


三、（15）设函数 在[2，4]上有连续的一阶导函数，且 ，
          证明： .




四、（13）设有方程 。
若
证明： 收敛；
设 ，再证明 三是方程 的唯一解。

五、（13）证明：函数项级数 在任何有穷区间 上一致收敛

六、（13）设 在 上二阶可导，且 ，证明：
          。
七、（13）设 均为常数，证明：函数项级数 在 上一致收敛。

八、（13）设 在 上黎曼可积， 用可积准则证明：
        函数 在 上黎曼可积。

九、（10）设 在 上具有连续的二阶导数，证明：在 内存在 使得，

华中师范大学06年研究生入学考试数学分析试题
一、（30）计算题
；
；
；
；

；
。
二（20）设f(x)在 上可导，且 在 上有界，证明：
1、        f(x)在 上一致连续；
2、         ；
3、         
三、（20）设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=f(1),证明
1、证明：存在 ,使得 ;
2、试推测|：对任意正整数n，是否存在 ，使得 ，
并证明你的结论。


四、（10）设f(x)在 上连续，且f(x)>0，记
1、求 ；
2、证明： 在 上是严格单调递增。
五、（10）证明：若 绝对收敛，则 也绝对收敛。
六、（15）设f(x)在 上连续，证明
1、 上不一致收敛；
2、 上一致收敛的充要条件是 。
七、（10）设 为 上的n次齐次函数（即对任意t>0, 且具有一阶连续的偏导数， 。若方程 确定了可微的隐函数 ，证明： 必为一次齐次函数。
八、（20）设 上具有二阶连续的偏导数，证明：
1、对 内任意光滑简单闭曲线L，总有 ，其中 为L的外法方向， 是 沿 的方向导数，D是L围成的有界闭区域；
2、 为 是的调和函数（即 ）的充要条件是对 内的任意光滑简单闭曲线L，总有 。


九、（15）设n是正整数，给定方程 ，证明
1、此方程仅有惟一的正根 ；
2、

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2007年华中师范大学数学研究生入学考试试题下载地址http://gs.ccnu.edu.cn/2007sj/index.htm

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