求助一道综合题

en_yxy · 发表于 08-9-15 14:58:21

设f(x)在0到正无穷(开区间)内有定义，f'(1)（函数在x=1出的导数）存在，且对于任意x,y属于0到正无穷恒有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x);

[ 本帖最后由 k0k0k0k0 于 2008-9-15 23:40 编辑 ]

85137515 · 发表于 08-9-15 23:05:22

不知道LZ的题在0处是开区间还是闭区间。

ruanqiang · 发表于 08-9-15 23:12:42

f(x)=ln(x)

85137515 · 发表于 08-9-15 23:20:21

反推，F(X)=lnx
如果0处有定义，f(x)=0也行

ruanqiang · 发表于 08-9-15 23:23:08

上面少了个系数
f(x)=f\'(1)ln(x)

ruanqiang · 发表于 08-9-15 23:24:38

x不能=0 在0处开

spring610 · 发表于 08-9-15 23:30:14

第一种方法是对y求导不过要限定一个区间内，保证可以求导。得到xf\'(xy)=f\'(y),令y=1得到
xf\'(x)=f\'(1)=1,再加上f（1）=0，就可以得到f(x)=ln(x)；
第二种方法是先令x=y=1得到f（1）=0。f\'(x)=lim（f(x+^x)-f(x))/^x=lim f(1+^x/x)/^x
=f\'(1)/x=1/x ,所以f(x)=ln(x)；

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