请教一个复习全书上的问题

数三的《复习全书》第61页：
（三）分界点是函数的连续点时，求导函数在分界点处的极限值。
....结论及证明略去。
由该结论是否可得出：
函数在某点的邻域可导，且在该点连续，且导函数在该点极限存在，则对应的导函数在该点也连续，亦即只要某函数 f 可导，在其连续区间上，只要导函数 f' 的极限存在，导函数也一定是连续的，如导函数不连续，也不会存在可去间断点吧？
本人基础较差，一些概念看来看去怕看混了，希望高人指点，谢谢！

[ 本帖最后由 cplus_2 于 2008-9-28 22:44 编辑 ]