谁能帮我看看这道题，怎么证明呀，是在是想不出来了

sungis · 发表于 08-10-29 22:25:29

谁能帮我看看这道题，怎么证明呀，是在是想不出来了

设α1 α2 α3......αs.均为n维列向量，A是m×n矩阵，如果α1 α2 α3......αs线性无关，r（A）=n，则Aα1 Aα2 Aα3......Aαs.线性无关，否则，Aα1 Aα2 Aα3......Aαs.线性相关。
这是一年的考研题，但是怎么样证明呢

k0k0k0k0 · 发表于 08-10-30 00:07:10

假设α1 α2 α3......αs线性无关，r（A）=n时，Aα1 Aα2 Aα3......Aαs.线性相关，则存在不全为0的值x1 x2 ... xs使得x1Aα1+x2Aα2+...+xsAαs=0，即方程组Aαx=0有非0解。
由r（A）=n知道A(αx)=0只有0解，即αx=0，方程αx=0有非0解，r(α)<s，向量组α1 α2 α3......αs线性相关，与已知矛盾。得证。

麟雲 · 发表于 08-10-30 22:58:20

如果α1 α2 α3......αs线性无关，则r（α1 α2 α3......αs）=s，r（Aα1 Aα2 Aα3......Aαs）=r（A（α1 α2 α3......αs））<=r{r(A),r(α1 α2 α3......αs)},r（A）=n.......时间问题，待续

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