一个级数发散的题目，大家一起学习下

在考研论坛上做过这样一道级数题，在本论坛也做过类似的，拿来大家一起分享
原题是:
已知《An》是正项发散级数，问《An/(1+n*An)》是否一定发散？？若是，请证明之，若不一定，请给一反例。
给出的证法有
1.反证法
证明：假设an/(1+n*an)收敛，设bn=an/(1+n*an),则可推出an=bn/(1-n*bn),由于bn收敛，所以lim(n*bn)一定为0（因为如果一个正项级数和调和级数的比值的极限为正数或者正无穷，则该级数一定发散，现在得知bn收敛，所以由该命题的逆否命题知lim(bn/(1/n))=0，也就是
lim(n*bn)=0 )。
所以lim(an/bn)=1/(1-n*bn)=1,由比值审敛法可知级数an一定收敛，矛盾，所以...
大家看看这个证法有什么问题？

主要在于nbn的极限不一定存在 ，这就不能把所有的情况都包括在内了吧
看个反例

我给出一个证法，大家可以参阅