数学考研真题

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兰州大学2004年招收攻读硕士学位研究生考试试题
         注意：答案一律写在答题纸上，写在试题上无效。
招生专业：数学系各专业                                  考试科目：高等代数   
一．（15分）判断题（判断下列陈述是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在括号内打“ ”。）
（1）设f(x)是一多项式。若a是 但不是 的根，则a是f(x)的k重根。                                              （ ）
（2）方阵A可逆的充分必要条件是存在常数项不为零的多项式，使得f(A)=0                                                （3）在n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵是单位矩阵。   （ ）   
（4） 线性空间V 的任意两个子空间的交与并仍是V 的子空间          （ ）
（5）正交矩阵的属于不同的特征值的特征向量是正交的。              （ ）
二（20分）填空题
（1）        设A是3级矩阵， 是非齐次线性方程组AX=b 的三个线性无关解向量。则AX=b的通解为
（2）        若A，B均为n级矩阵，B可逆。且满足
（3）        数域F上 n维线性空间V上的线性变换        
         

（5）        两个n级矩阵A与B的乘积AB是正定矩阵的充分必要条件是
三（20分）设f(x)和g(x)是数域F上的两个不完全为零的多项式。令
I={u(x)f(x)+v(x)g(x)|u(x),v(x) F[x]}.
  证明：（1）I关于多项式的加法和乘法封闭，并且对于任意的h(x)  I和任意的k(x)  F(x),有h(x)k(x)  I;
(2)I中存在次数最小的首项系数为1的多项式d(x),并且d(x)=（f(x),g(x)）.
四．（15分）计算下列行列式的值
         
五（20分）证明：矩阵A的秩等于 r的充分必要条件是A有一个 r级子式不为零，而所有的r+1级子式全为零。
六．（20分）设A是n 级正定矩阵，B是n级半正定矩阵,并且满足 证明：B是正定矩阵，并且A与B相似。
七．（20分）设 存在向量
   
八（20分）设 是数域F上n维线性空间V的线性变换， 的两个子空间，并且

1.(20’)




2.(20\')

05高代

04

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