请教一道证明题，高手请进！【已恢复】

好像不是很难

给我的思路

题设给的是等价无穷小，那么就可以求出F(X)在趋近0的值

再结合凸函数的性质，F(X)大于边界点 （边界点的值应该是2）

哥们儿！你具体说的我还没看，待会儿再看，但是看到你说我得出函数在x=0时函数值等于2不对，我不服气，呵呵，我是考虑到函数连续才得出极限就是函数值的！没错吧？

你看我的方法行不，f\'(0)=2,用等价无穷小代换ln(1+x^2)-----x^2,再用罗比达法则又可推出f\'(0)=0,f\'\'(0)=6 （这里注意罗比达法则使用前提条件：1.分子分母极限都为零或无穷 2.分子分母在该点邻域内可导 3.且得到的新分式极限若存在才可用等号连接    仔细思考，会发现这里满足使用罗比达法则使用条件的），因为f\'(0)=0,f\'\'(0)=6>0,由高数上册155页定理三得知函数在x=0处取得极小值！f\'\'（x）>0知f\'（x）在（a，b）上单调递增，所以在（a，b）上只有一个x=0使f\'（x）=0,你想想，原函数在（a，b）上可导，那么极值点一定满足f\'（x）=0（费马引理吧），而分析只有f\'（0）=0,所以原函数在（a，b）上只有一个极值点，因为是开区间，所以也就是最值点，还是最小值，所以f（x）>=f(0)=2,得证！

原帖由 trouble16 于 2009-6-6 22:57 发表
这个题我只能证明出来f(x)在(0,b)区间上大于等于2
有x→0时的lim(f(x)-2*exp^(x^2))/ln(1+x)=1。可知  f(x)=2(x→0) 注意，这里是x→0，不是5楼所说的f(0)=2
由于f\'\'(x)>0,可知，f\'(x)在区间(a,b)上单调递增， ...

f(x)的导数存在,f(x)必然连续  f(x)=2(x→0) 就意味着 f(0)=2.

原帖由 trouble16 于 2009-6-6 22:57 发表
有x→0时的lim(f(x)-2*exp^(x^2))/ln(1+x)=1。可知 f(x)=2(x→0)  

是怎么知道的啊？

这个我来回答吧！你想想，一个分式分母极限为零，而整个分式极限是个常数，那摩分子极限必然是零，要是分子极限是别的数或无穷，那摩整体分式极限就是无穷大了，所以必然分子极限也是零啊！

哇，我懂了，太感谢了，姆~，嘿嘿...

在大家的帮助下学到好多东东，太感谢了，尤其是干滴滴和aq253，由衷表示感谢！

这么证行不行：有x→0时的lim(f(x)-2*exp^(x^2))/ln(1+x)=1。可知 f(0)=2，然后罗比达法则，分子分母分别求导，整理，分母还为0，可求f\'（0）=0，
由于f\'\'(x)>0,可知，f\'(x)在区间(a,b)上单调递增，再联立f(0)=2 条件，故在区间(0,b)上，f(x)一定大于等于2
对于区间(a,0)，由f\'(x)在区间(a,b)上单调递增，f\'（0）=0得f\'(x)<0（a<x<0）,在推出f(x)单调递减（a<x<0）,
即f（x）>2（a<x<0）,综合可得结论
这样就行了 感觉题没有问题

f(0)=2  f(0)\'=o f(x)\'\'>0
知 f（0）是（a，b）上的最小值