矩阵等价的条件

定义:若由A经过一系列初等变换可得到矩阵B ，则称A与B等价.
若A与B等价,则B与A等价.
若A与B等价,B与C等价,则A与C等价.
A与B等价<==>秩(A)=秩(B)
A与B等价<==>A与B有相等的等价标准形
A与B等价<==>存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ＝B

这几个条件是否正确，除了这几个还有别的吗

A与B等价<==>秩(A)=秩(B) 这个是错的，第一个A与B等价==>秩(A)=秩(B)这个是对的，但是A与B等价<==秩(A)=秩(B) 这个是错的，还要加个条件，A能初等变换到B，这样才对。向量也是这样，若A组能由B组线性表示，并且秩相等，则两向量组等价（书上例题）。向量的本质就是矩阵，所以还要再加个条件才对。

不是秩相等就等价，我们在求线性方程解是，都要进行初等变化，A与变化后的A\'就是等价的，所以求出来的解也是一样的，
如果只是秩相等，则不能推出他们等价
0 1 0
1 0 0
与
1 1 0
0 1 1
秩是相等的，但解是不同的，所以不等价

[ 本帖最后由 cp1987916 于 2009-8-11 14:20 编辑 ]

恩恩，正解，初等行变换和初等列变换只能进行一个，不可以同时进行，一般是进行行变换，这两个矩阵是无法单独进行一个变换能得到的，所以不等价

[ 本帖最后由 shimeihong2012 于 2009-8-11 14:55 编辑 ]

如果两个矩阵的同型矩阵的秩相等，那么这两个矩阵是等价的，因为总可以通过初等行列变换使它们相抵与同一标准型，4楼说行列变换不能同时进行那是针对进行求矩阵逆的时候。从矩阵等价的定义以及上面列出的最后一条性质我们可以看出可以是可以同时进行行列变换的

噢~~明白了；如果两个矩阵不同型，即未知量个数不等，即使秩相等，它也无法同解，谢谢5楼点拨。。。。那么既然行列变换都等价，为什么我们在求解线性方程组时，只进行行变换，而不进行列变换？是不是行变换比较符合我们解方程的步骤习惯？