相似、合同、等价

他们三个之间有什么关系啊？各能推出些什么主要性质呢？特别是相似和等价，总容易搞混...望指点啊~

去看李永乐的线性代数讲义P147 有一小节专门讲这个

A与B相似   即存在可逆矩阵P  ，使P-1AP=B
          A与B合同   即存在可逆矩阵C  ,  使CTAC= B
          A与B等价   即存在m阶可逆矩阵P和n阶矩阵Q，使得PAQ=B

   1，它们之间都有  自反性  对称性    传递性
  
  2，矩阵等价即看作是矩阵A作初等变换到B，可逆矩阵可以看作N个初等矩阵的乘积。从这点就知道相似合同等价都是在做着初等变换，所以秩在这三个概念当中是无变化的，由定理知道等价的充要条件是秩相同，且都为同型矩阵，合同与相似只能在方阵中操作

  3，A与B相似，则A与B的特征多项式相同，即特征值相同，可以查看课本上的定理即推论，能产生这样的效果是因为矩阵A两边所乘的都是矩阵P/P-1，因此经过变换得出结论，而等价时候A两边所乘矩阵式PQ，Q可以不是P的逆，即可理解为，相似是等价变换的一个特殊，产生了特征值相等的结论。

  4，合同变换即是把二次型方程变成标准型的过程中的一个重要步骤，A两边同样是乘以可逆矩阵，换句话说A在做初等变换，不过两边乘的是CT/C，从初等变换理解，也算是等价变化的一个特殊吧，前提是A,B都为实对称矩阵，判断矩阵能否合同的首要条件即是矩阵是否对称的，在考虑其他方面，把二次型变为标准型中，课本上有介绍推导公式，关键问题就在于把CTAC变为对角矩阵，这个联系到正交阵的对角化问题，CTAC变为对角矩阵后，对角矩阵元素值即为原矩阵的特征值。由此我们就知道，对称矩阵A,B对应的二次型的正惯性指数和负惯性系数指数是不变的，对应的二次型规范性也不变。

    正交变换=相似+合同

    由上面，可知道越复杂的，条件限制越多，A,B能合同或者相似，那么A.B秩相等，即A,B等价，反之不一定成立。
    相似矩阵特征值相同，但是特征向量可能改变，对称性可能改变
    A,B如果是实对称矩阵，那么A与B合同的充分条件是A与B相似。充要条件是二次型的正惯性指数相同。



   有问题大家一起讨论下。

[ 本帖最后由 almghty 于 2009-8-24 12:14 编辑 ]