请教一个线性代数第四章的问题

设a1,a2,a3,...as均为n维列向量，A是m*n阶矩阵。若a1,a2,...as线性无关，R(A)=n。如何推出Aa1,Aa2,...Aas线性无关？

[ 本帖最后由 yuyuedin 于 2009-9-1 11:09 编辑 ]

有题目的分析可以知道：n>s,n>m.
a1,a2,a3,...as均为n维列向量构成的矩阵我们把它叫做B，则R(B)=S.Aa1,Aa2,...Aas构成的矩阵令其为C则由题意可知，AB=C,
那么有性质R(C)>=R(A)+R(B)-N=N+S-N=S，而C是一个m*s矩阵，R(C)<=s,所以R(C)=S，所以C线性无关。得证。

k1Aa1+k2Aa2+.....+KsAas=0
A(k1a1+k2a2+.......+Ksas)=0
r(A)=n
K1a1+k2a2+........+ksas=0
a1,a2......线性无关，
故k1,k2..........=0
故线性无关

请问：r(A)=n
K1a1+k2a2+........+ksas=0
这是为什么？

A列满秩ABX与BX同解，故AB与B具有相同的线性关系
这句话有点不理解，能否解释一下..thanks

r(A)=n
所以方程AX＝O只有零解，所以X＝O

用定义求证比较快

由n维列a1,a2,...as线性无关知s<=n
反证:假设k1Aa1，k2Aa2，...，ksAas线性相关，因此存在不全为零的k1,k2,...,ks使
     k1Aa1+k2Aa2+...+ksAas=0　　即 A[a1,a2,...,as][k1,k2,...,ks]T=0
        r{A[a1,a2,...,as]}<=min{r(A),r([a1,a2,...,as])}=s;
        r{A[a1,a2,...,as]}>=r(A)+r([a1,a2,...,as])-n=n+s-n=s;
       所以，r{A[a1,a2,...,as]}=s
       所以,  A[a1,a2,...,as][k1,k2,...,ks]T=0　只有零解，与假设矛盾，故k1Aa1，k2Aa2，...，ksAas线性无关
     得证 :)