学好线代的最关键要点在于“见一反三”，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考，会有助于更进一步把握好线代的知识体系。
1、任何一个向量α=（a1, a2, ..., an）都能由单位向量ε1=（1, 0, ..., 0）、ε2=（0, 1, ..., 0）、……、εn=（0, 0, ..., 1）线性表出，且表示方式唯一。
2、向量组α1，α2，…，αn中任一个向量αi可以由这个向量组线性表出。
3、判断下列说法正确性：（1）“向量组α1，α2，…，αn，如果有全为零的数k1, k2, ..., kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，则α1，α2，…，αn线性无关。”（2）“如果有一组不全为零的数k1, k2, ..., kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0，则α1，α2，…，αn线性无关。”（3）“若向量组α1，α2，…，αn（n≥2）线性相关，则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。”
4、三维空间中的任意4个向量必线性相关。
5、n+1个n维向量必线性相关。
6、如果向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1也线性无关。
7、如果向量组α1，α2，α3，α4线性无关，判断向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否线性无关。
8、如果向量β可以由向量组α1，α2，…，αn线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αn线性无关。
9、设向量组α1，α2，…，αn线性无关，β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果对于某个ki≠0，则用β替换αi后得到的向量组α1，…，α(i-1)，β，α(i+1)，…，αn也线性无关。
10、由非零向量组成的向量组α1，α2，…，αn（n≥2）线性无关的充分必要条件是每一个αi（1<i≤n）都不能用它前面的向量线性表出。
11、设α1，α2，…，αn线性无关，且（β1，β2，…，βn）=A（α1，α2，…，αn），则β1，β2，…，βn线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。
12、秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。
13、任一n维向量组若是线性无关的，那么其所含向量数目不会超过n。
14、如果n维向量构成的向量组α1，α2，…，αn线性无关，那么任一n维向量β可由α1，α2，…，αn线性表出。
15、如果任意的n维向量都可以由α1，α2，…，αn线性表出，那么α1，α2，…，αn线性无关。
16、如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出，则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。
17、n个方程的n元线性方程组x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β对任何β都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。
18、如果向量组α1，α2，…，αn和向量组α1，α2，…，αn，β有相同的秩，则β可以由α1，α2，…，αn线性表出。
19、r（α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm）≤r（α1，α2，…，αn）+r（β1，β2，…，βm）。
20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。
21、如果m*n的矩阵A的秩为r，那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。
22、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，则这个矩阵不是满秩矩阵。
23、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，那么这个矩阵的秩最多是多少？
24、设η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组的一个基础解系，则与η1，η2，…，ηt等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系。
25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r<n），则方程组的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。
26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r<n），设δ1，δ2，…，δm是方程组的解向量，则r（δ1，δ2，…，δm）≤n-r。
27、设n个方程的n元线性方程组的系数矩阵A的行列式等于零，同时A至少存在一个元素的代数余子式A(kl)不为零，则向量（A(k1), A(k2), ..., A(kn)）是这个齐次线性方程组的一个基础解系。
28、设A1是s*n矩阵A的前s-1行组成的子矩阵，如果以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程a(s1)*x1+a(s2)*x2+…+a(sn)*xn=0的解，其中a(ij)是矩阵A的元素，则A的第s行可以由A的前s-1行线性表出。
29、n个方程的n元非齐次线性方程组有唯一解当且仅当它对应的齐次方程组只有零解。
30、如果η1，η2，…，ηt都是n元非齐次线性方程组的解，并且有一组数u1，u2，…，un满足u1+u2+...+un=1，则u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程组的一个解。
31、如果ν0是非齐次线性方程组的一个特解，η1，η2，…，ηt是它对应的齐次方程组的一个基础解系，令ν1=ν0+η1，ν2=ν0+η2，…，νt=ν0+ηt，则非齐次线性方程组的任意一个解可以表示为ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+...+ut*νt，其中u0+u1+u2+...+ut=1。
32、设A是s*n矩阵，如果对于任意列向量η，都有Aη=0，则A=0。
33、两个n级上三角矩阵的乘积仍是n级上三角矩阵，且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元乘积。
34、与所有n级矩阵可交换的矩阵一定是n级数量矩阵。
35、对任一s*n矩阵A，AA'和A'A都是对称矩阵。
36、两个n级对称矩阵的和仍是对称矩阵，一个对称矩阵的k倍仍是对称矩阵。
37、两个n级对称矩阵的乘积仍是对称矩阵的充分必要条件是它们可交换。
38、对任一n级矩阵，A+A'都是对称矩阵，A-A'都是反对称矩阵。
39、任一n级矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。
40、如果A是n级对称矩阵，并且A*A=0，则A=0。
41、r（A+B）≤r（A）+r（B）。
42、如果一个矩阵的行（列）向量组是线性无关的，则称为行（列）满秩矩阵。如果一个s*n的矩阵A的秩为r，则有s*r的列满秩矩阵B和r*n的行满秩矩阵C存在，使得A=BC。
43、设A是n级矩阵，若AA'=E，则A的行列式为1或-1。
44、如果矩阵A可逆，则A*也可逆，求A*的逆阵。
45、可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。
46、如果A^k=0，则A-E可逆，求其逆阵。
47、设A、B分别为s*n，n*m矩阵，如果AB=0，则r（A）+r（B）≤n。
48、设A是n级矩阵，且A≠0，则存在一个n*m的非零矩阵，使AB=0的充分必要条件是A的行列式为零。
49、如果n级矩阵A满足A*A=E，则r（A+E）+r（A-E）≤n。
50、设A是一个s*n矩阵，β是任意一个s维向量，则n元线性方程组A'Ax=A'β一定有解。
51、设A是一个n级方阵，且r（A）=1，则A能表示成一个列向量与一个行向量的乘积。
52、设A是n级矩阵（n≥2），则A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。
53、设A是n级矩阵（n≥2），则当r（A）=n时，r（A*）=n；当r（A）=n-1时，r（A*）=1；当r（A）<n-1时，r（A*）=0。
54、设A、B分别是s*n，n*m的矩阵，则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r（A）=r（A, B）。
55、设A、B分别是s*n，n*m矩阵，则r(AB)≥r（A）+r（B）-n。
56、设C是s*r的列满秩矩阵，D是r*n的行满秩矩阵，则r（CD）=r。
其中55题难度较大，不作强求。另外补充说明一下，可能一开始大家完成这些题目的证明时有的需要在书面上推导，但熟悉了以后再重看的话，应该是可以仅凭头脑中的推理完成的，换句话说，我们的最终目的是不动一纸一笔把这几十道题目的来龙去脉勾画清楚，所以前面提到是“思维的训练”，做到这一点的话，线代基本就可算是学到家了。 |
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