施密特正交化有点疑问，请大家帮忙看看，谢谢！！！

Schmitt正交化的作用到底是什么？
最近这里有点不清楚，书上所说：其作用就是，将一个向量组中所有的向量，化为两两正交（如果想求规范正交基，在正交化的基础上，再单位化就可以了）。

如下：（同济大学：工程数学——线性代数——第五版P114）

设α1，α2……αr是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量e1，……er，使e1，……er与α1，α2……αr等价。这样一个问题，称为把α1，α2……αr这个“基规范正交化”。

现在我的问题是：对于任意给的一组向量例如：（同样取自“上述教材”P114）

α1=（-1，2，-1）；
α2=（-1，3，1）；
α3=（4，-1，0）；

施密特正交化之后（含单位化），得到：

e1=（1，2，-1）/√6  （注：此处√指代“根号”）
e2=（-1，1，1）/√3
e3=（1，0，1）/√2

显然我们不会直接去写成：
e1=（1，0，0）
e2=（0，1，0）
e3=（0，0，1）

显然这个不是用施密特正交化的结果，是我们随便写的一组单位正交基。但是这组正交基和原来的向量组完全等价啊，相互之间都能线性表示。即完全符合上面提到的“基规范正交化”的要求。那照这么说，我们用施密特方法进行规范正交化的过程意义又何在呢？？？我想施密特方法找的正交基和原来的向量组肯定是有什么联系的！否则我们像上面随便写一组就是了。那么施密特正交化到底是在保证什么的条件下，来进行正交化的呢？应该不仅仅包括向量组等价吧！

考试的时候都是求正交矩阵才用施密特正交化的，这个正交化可以保证矩阵的特征向量正交化之后还是矩阵的特征向量

对了 顺便说一下 有的时候在求特征向量的时候能直接看出来什么样的特征向量是正交的 直接把正交的写上去然后就可以省略施密特正交化这步了

补充3楼，实对称矩阵特征值的特征向量正交

施密特正交化是在选定一个初始向量的基础上，对其他向量进行分解与合成，使得各个向量之间互相垂直；
你最后写的那个e1=（1，0，0） 。。。确实是正交的，但是相当于移动了坐标轴，使3个向量与坐标轴重合了，显然这只是正交的一个特例；而施密特正交化开始的第一个向量方向由原向量决定。不知你能否明白？

5楼正解，施密特正交化内在规定了正交化后的向量有一个与给定向量方向相同，另外在论及向量坐标时，需默认所选向量空间的基是同一组这样一个前提，诚如楼主所举例子，前后两个正交向量组在不同基下可以表示相同向量；在假设是同基的情况下，存在一个另一组基下的过渡矩阵使两个向量组联系起来，其实就是所谓的坐标变换，或者说一个满秩的线性变换。。。

大家说的都很有道理！谢谢了！昨天我又仔细看了下书！应该是弄明白了！
这里在大家的所说的东西上再补充一点，应该也是相当关键的。
引用书上的原话：（同济大学：工程数学——线性代数——第五版P114中间一段话）

上述从线性无关向量组a1,a2,......ar导出正交向量组b1,b2,......br的过程称为施密特正交化过程。它不仅满足
b1,b2,......br与a1,a2......ar等价（这个是我昨天已经提到的），还满足：对任何k（1≤k≤r），向量组b1,b2......br与a1,a2......ar等价（这个应该才是施密特正交化的精华吧）。

不等价就完了，那就说明你写错了