几道关于函数项级数的题目汇总

ddsmile · 发表于 11-1-11 13:09:11

对于数项级数与函数项级数都摸不着头脑，技巧要求高，所以积累了好几道不会的题目，在这里一并向大家请教了：

xjsh · 发表于 11-1-11 14:18:43

第1题,把m<f(x)<M,代入,估算出数列上下不等式,然后,就可得.

其他三题,似是武大往年的考题,在此论坛,找找看,有原题的解答过程.

ddsmile · 发表于 11-1-11 14:43:30

嗯。谢谢
我找找看。

tianliangzh · 发表于 11-1-11 14:57:41

1.只需求（an)的n次方根就行了应该通过放缩的2

2，当an有界时，显然收敛
3容易证明是内壁一致收敛的，从而连续，而在x=1时发散，从而非一致收

xjsh · 发表于 11-1-11 15:16:28

第4题,是把南京大学2006年的数分第六题的两问加起来的综合,南京大学2006年的数分解答贴子,此论坛有.

第3题,类似于武汉大学2009年数分的第九题.武汉大学2009年数分解答贴子,此论坛有.
第2题,就是南京大学2007年数分的第八题的解答,南京大学2007年数分解答贴子,此论坛有.

第2题也类似于南开2000年数分第5题,南开2000年数分解答贴子,此论坛有.

xjsh · 发表于 11-1-11 16:58:50

第1题的积分上限2是否错了,那个函数只在[0,1]上有定义.

xjsh · 发表于 11-1-11 17:38:33

说的正确.

lxdyahoo · 发表于 11-1-11 19:28:10

我也是这块弱项学习了。。。

ddsmile · 发表于 11-1-11 23:15:22

关于第3题，有点不懂，在点x=1处不收敛，难道就能说明(1,+∞)内不是一致收敛？
这是什么定理吗？

xjsh · 发表于 11-1-12 07:51:42

"关于第3题，有点不懂，在点x=1处不收敛，难道就能说明(1,+∞)内不是一致收敛？
这是什么定理吗？ "

这是一个定理.
一般情况的定理. 若函数项级数(每一项是连续函数)在一点处(一般是端点)发散,则该函数项级数在某开区间内非一致收敛.

证明:用反正法,假若函数项级数在开区间内一致收敛,写出其柯西原理的不等式,在此式中令变量趋于端点,得到在端点处级数收敛.
矛盾.

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