连续函数在闭区间内是否一定有最大值？

从直观上看，连续函数应该在闭区间有最大值，不过具体的严格证明不会。


其实主要是下面一道题的证明突破口不知道在哪：
设{fn(x)}是[a,b]上的连续函数列，且：f1(x)≥f2(x)≥f3(x)≥.....≥fn(x)≥......
若n->∞时，fn(x)=f(x), x属于[a,b]，证明：f(x)在[a,b]上有最大值。

贴子的标题与内容不符合.

标题没有准备反映出内容.

题目中的函数f(x)在[a,b]上可能不连续.

标题应起名为:单调递减的连续函数列的极限函数的性质(最大值性质).

这个题怎么没有悬赏考元,哈哈.

如此得到的函数f(x)是上半连续的，自然就有最大值。

那能用其他法来证吗？上半连续不是太常用哟，哈哈/'、、

(1)由条件,易知函数有上界,然后有上确界,
(2)设出上确界的值,然后用类似于闭区间上连续函数有最大值的定理的证明过程,

(利用函数列单减性与极限值的不等式,及每一项的连续性),可得结果.

考元不多啦，得下次用在刀刃上。
谢谢你一直以来的热心解答哈。

（1）关于f(x)有上界是否是因为fn(x)在[a,b]上是连续函数有界从而得出f(x)也是有界的？
（2）仿照最大值的证明过程有：
   根据（1）对于任意的n属于N，存在xn属于[a,b]，有M-1/n≤f(xn)≤M。
   所以存在子列{xnk}使lim(xnj)=x0（j趋于无穷）有f(x0)≥M。即有f(x0)=M。
   
   （2）的证明过程是否严谨？

另有一点不明白：既然fn(x)是连续函数，且n趋于无穷时fn(x)=f(x)，那为什么f(x)不是连续函数？

因为没有一致收敛，从而不一定

楼主这道题证明的完整过程见附件.