麻烦给出这道题的严谨证明过程。

请教一道高等代数的题目：

设σ为数域F上n维线性空间V上的线性变换，m(x)为σ的最小多项式，
若m(x)=m1(x)*m2(x)满足(m1(x),m2(x))=1且m1(x)，m2(x)的次数都大于零。
证明存在V的子空间V1和V2，满足V为V1与V2的直和，且σ|V1和σ|V2在V1和V2上的
最小多项式分别为m1(x)和m2(x)。

思路是有了，只是觉得自己做的不严谨，也就是构造矩阵的时候不严谨。麻烦哪位解答下。