即使函数连续且在左、右邻域导数都存在，并且f（x0）为极值，也未必存在某左侧邻域使f

问题一：即使函数连续且在左、右邻域导数都存在，并且f（x0）为极值，也未必存在某左侧邻域使f’（x）>0与某右侧邻域使f’（x）<0.换言之，左右侧邻域导数反号是极值的充分条件而不是必要条件“ 这是标准全书的一句话，但是想不到反例，哪位大仙举个例子？
问题二：我知道级数1/n 是发散的     但请问老师，数列<1/n>  是否为收敛数列！

问题1：例如f(x)=1,左邻域和右邻域导数都存在，极值为1，但明显导数不异号
问题2: ∑1/n=1+1/2+1/3+...+1/n+...       无穷个数相加       发散        
          数列{1/n}={1,1/2,1/3,.....,1/n,......} 无穷个数            收敛
         你定义掌握的不好

乔乔. 发表于 2011-10-18 13:54
问题1：例如f(x)=1,左邻域和右邻域导数都存在，极值为1，但明显导数不异号
问题2: ∑1/n=1+1/2+1/3+...+1/ ...

谢谢回答！  关于问题一的补充， 极值点的定义请看课本（是指定教材，不是辅导书）， 如果恒等于一，我认为根据书上的定义不是极值点！

问题1  例如 f(x)=2-x^2*(1-cos(1/x)) (x不等于0），f（x）=2 （x等于0），当x=0，f(x)取极值，但是x=0的左右邻域的导数并非异号

极值点是周围的函数值大于等于（小于等于）在这一点的函数值，而大于或小于是严格极值的定义，我确定

乔乔. 发表于 2011-11-13 11:25
极值点是周围的函数值大于等于（小于等于）在这一点的函数值，而大于或小于是严格极值的定义，我确定

书上不是这么说的  我看的是 同济的教材

稻草青蛙 发表于 2011-10-24 13:44
谢谢回答！  关于问题一的补充， 极值点的定义请看课本（是指定教材，不是辅导书）， 如果恒等于一，我认 ...

如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

    楼主，自我感觉，如果按照同济版教材定义，这句话是无法成立的。但是，我又碰到过这样的证明题：处处都为极值的连续函数一定为常值函数。这就是说，常值函数处处都是极值点。你的疑问让人纠结，其实是在于概念的定义不同，额，现在我也纠结了。。。。。与同济版矛盾。。。。

k之手链 发表于 11-11-1 15:12
问题1  例如 f(x)=2-x^2*(1-cos(1/x)) (x不等于0），f（x）=2 （x等于0），当x=0，f(x)取极值，但是x=0的左 ...

虽然左右邻域的导数不是异号，但是你举的这个例子的导数不存在。也不符合楼主的条件

f(x) = x^3;在x = 0出f'(x) 也是左右符号相反