φ（x）在x=x0连续，f(u)在u=u0=φ(x0)不连续，则f（φ（x））在x=x0不连续

1.关于连续性：

    φ（x）在x=x0连续，f(u)在u=u0=φ(x0)不连续，则f（φ（x））在x=x0不连续；
这个为什么是错的呢？

2.关于无穷小等价代换：

    如果分子上是加减，就不能代换么？只能用泰勒或者洛必达？

    eg:  （ln（1+2x―x^2）―6（（1+x）^(1/3)―1))/（x^2）
             (x是趋近于0)               

不一定，第一个

第2个，我没看懂

第一个譬如，f=1/x-1    fai(x)=x-1  

☆沩沵垨糇★ 发表于 2012-7-29 21:56
第2个，我没看懂

第二个，我的意思是，分子上面是趋于无穷小的嘛，为什么不能运用等价无穷小代换呢？

还得感谢你的帖子，我去查看了一下前面的内容。编辑一下这里吧，好像再发回复要审核。
我那个证明是错的，错的原因在x趋于x0不能等价于u趋于u0。这个的条件是在“复合函数求导法则定理”中有的，在教材上，一个不怎么起眼的条件限制 “在x0的一个邻域内，内层函数的函数值不能等于x0点处的函数值“，所以我的证明就错了，这个我也见过一题说这事，我没特别理解。

至于反例，我在另外的回复中写了，不知道审核要到啥时候……我手上这本全书有一个题，把几种复合方式全都举了反例。你这个的反例是一个分段函数，我在这里写出来吧。我改一下符号，g(x)=2 当|x|<1时，其余区间g(x)=0，f(u)=1，当|u|>2时，其余是f(u)=0（其余都是另外一个区间，我不好写大于等于号，就这样吧），则在x=0处，g(x)连续，g(0)=2=u0，但是f(g(x))在这点间断。这样看着费劲，你用纸把这个分段函数写出来，一看就懂了。总之，只有连续跟连续复合，才有连续的结论。其他都是不一定。

396210614 发表于 2012-7-31 23:27
如果非要说的话，加减形式是可以用的，但是这是数学分析的内容好像，我听说过，没深究，因为超纲了。所以看 ...

恩。第二题我记住了。谢谢^^.

但是第一题，我还是有点理解不了啊。。既然φ(x)在x=x0处φ(x0)=u0，f(u)在u0处又不连续，那就是f(u)在x=x0处不连续嘛。。难道还有连续的情况？

cicizuolo 发表于 2012-8-1 08:32
恩。第二题我记住了。谢谢^^.

但是第一题，我还是有点理解不了啊。。既然φ(x)在x=x0处φ(x0)=u0，f(u ...

不好意思，我上面的证明可能有点问题啊，这个问题我当时有点感觉到，只是不敢确定，应该是这里“x趋于x0等价于φ(x)趋于φ(x0)”，这个使用可能是有条件的，因为一般看到这样用的都是一些单调函数，对于这种抽象函数，不好乱用。你这个问题我再想想啊，连续性定义这种题确实折腾人，一般的解答肯定是给反例，这个反例可不太好举。顺带说一下，上面我说那种“不连续与连续的复合，不连续与不连续的复合，连续性不一定”，好像我看到的题对于两个连续性都是对自变量来说的，比如一个函数在x1不连续，另外一个在x2连续，这样子。这种情况反例就很好举了，只要通过内层函数的值域与外层的定义域错开，就可以证出来了。你这个把内层函数的取值跟外层直接联系上了……我得想想有啥反例了……

我那个回复居然审核……好吧，我上面的证明有问题啊，这样 x趋于x0等价于φ(x)趋于φ(x0) 这里应该要求单调函数才可以用（我也不确定，但是看到的都是单调的时候才用）。我在手上的全书中找到了你这个，答案果然就是一些反例，而且反例还确实是用分段函数来，我也在想什么分段函数可以用。我把你这个反例写出来吧：设φ(x)=2 |x|<1时，其余部分上φ(x)=0；f(u)=0 |u|>2时，其余部分f(u)=0。这样一来，f(φ(x)恒等于0，是连续的。但是f(u)在u=2处，是不连续的。当然，x0反正就取绝对值不超过1的任意一点，就可以使φ(x0)=2，而且φ(x)还在这点处连续。这样就是反例了。借你的题，我也复习了一下这个，当然对这个记忆不深……顺带说一下，我这里这题，是一个选择题，有4个命题，要选择有几个是正确的，其中只有标准的连续与连续复合得到连续函数，其余通通不对。

好难得说~~