常函数有没有极值点？

按同济书上的极值定义（去心邻域内严格>、<）是没有，
按全书上的极值定义（邻域内≥、≤）是有的，这怎么办？


再比如多元的情况，
（0,0）到底算不算f（x,y）=y^2的极值点？

由二元函数极限定义，（0,0）是f（x,y）=y^2的极值点， 我理解常函数没有极值点，因为极值点两侧增减性改变是定义极值点的目的之一吧，若f（x,y）=1，则无极值点。

愤怒的屠夫 发表于 2012-11-12 10:52
由二元函数极限定义，（0,0）是f（x,y）=y^2的极值点， 我理解常函数没有极值点，因为极值点两侧增减性改变 ...

如果常函数不算极值点，（0,0）也不是f（x,y）=y^2的极值点，因为它不是一个点，只要y是0，任意x都可以的。

(0,x)都算极值是对的，但不能说若f（x,y）=常数时，所有的点（x,y）都是级值点吧，y=f（x）=c，所有阶导数均为0，不存在第一个非0的k阶导数为偶的情况，如果函数增减性不改变，讨论极值不是没意义吗？(0,x)都算极值是也因为函数两侧增减性改变了吧。

愤怒的屠夫 发表于 2012-11-12 13:38
(0,x)都算极值是对的，但不能说若f（x,y）=常数时，所有的点（x,y）都是级值点吧，y=f（x）=c，所有阶导数均 ...

同济书和二李全书上极值的定义都不一样。。。
前者是必须去心邻域内严格><，唯舞独尊的一个点

高中书上是严格><，应该不会错否则教坏小朋友

愤怒的屠夫 发表于 2012-11-15 10:10
高中书上是严格>

那还是信课本了。。。

其实这个问题不必纠结，从定义的角度，肯定不存在极值，因为极值概念本来就不是针对常数函数的，从各个充分条件来看，因为常数隶属可导函数，如果取得极值的点，是要求该点左右邻域的函数值要变号的，如果把常数归于存在极值的话，就会出现不自恰。另外，要注意函数是否可导与极值是否存在没有关系，再者，二元函数与一元函数存在本质上的不同，不要无条件类比。

匠人之作 发表于 2012-11-16 15:01
其实这个问题不必纠结，从定义的角度，肯定不存在极值，因为极值概念本来就不是针对常数函数的，从各个充分 ...

谢谢！