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3 
dyxfdyxfDD1),(2),(，其中},),(),({1xyDyxyxD. 
这一方法可直接推广到三重积分以及对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分。 
因为积分范围有向的积分（即第二类积分）不仅与积分曲线、积分曲面和被积函数有关，还与积分范围的方向有关，所以利用对称性化简积分比较复杂，直接利用时要谨慎。一般在将其化为定积分，二重积分、三重积分之后，再利用相应的对称性来简化计算，比较保险。 
3、问：计算三重积分时，如何选择恰当的坐标系？ 
答  计算三重积分，常用直角坐标、柱面坐标、球面坐标，选择某种坐标系的一般原则是： （1）积分区域的边界曲面在该坐标系中的方程比较简单。（当边界曲面为该坐标系中的坐标面时，方程最简单。） 
（2）被积函数在该坐标系中的表达式比较简单，而且化为三次积分后，各次积分易计算。 为了选择恰当的坐标系，应该了解一些常见的曲面在何种坐标系中的方程比较简单。以及常见坐标运算式子在不同坐标系中的表示。例如 
x 2+y 2在柱面坐标系中为r 2，在球面坐标系中为2
2sinr；222zyx在柱面坐标系中为r 
2 
+ z 2，在球面坐标系中为r 2。 
圆柱面222ayx的柱面坐标方程为ar，球面坐标方程为sin/ar； 
圆柱面axyx222的柱面坐标方程为cos2ar，球面坐标方程为coscsc2ar； 圆锥面22yxkz的柱面坐标方程为z = k r，球面坐标方程为                     ； 球面2222azyx的柱面坐标方程为222azr， 球面坐标方程为r=a； 球面zazyx2222 的球面坐标方程为 )2/0(cos2ar。 
有了这些基本认识，就可较迅速，准确地选用恰当的坐标系。一般地，当Ω由圆柱面围成（或
更一般地，Ω在xOy平面上的投影区域为圆域222ayx）且被积函数中含有xyyx/,22 这样的式子时，可选用柱面坐标。当Ω由球面，圆锥面等围成，且被积函数中含有222zyx，
22yx 这样的式子时，可考虑用球面坐标。但具体到一个题目，还要视情况灵活处理。 
4：问，应如何掌握两类曲面积分的计算公式？ 
答  （1）第一类曲面积分SdzyxfI),,(的积分元素ds是曲面的面积元素，它相应于三的不同方程有不同的表达形式，因此，将第一类曲面积分化为哪个坐标平面内的有界闭区域上的二重积分，要根据   的方程形式而定，具体地， 
若Dyxyxzz),(),(，：，其中D是在xOy平面上的投影区域，且),(yxzz是D上的单值函数，则  
dxdyzzyxzyxfSdzyxfyxD221)],(,,[),,(； 
)
1arctan(,k






 
4 
若Dxzxzyy),(),(，：，其中D是在zOx平面上的投影区域，且),(xzyy是D上的单值函数，则  
dzdxyyzxzyxfSdzyxfxzD2
21]),,(,[),,(； 
若Dzyzyxx),(),(，：，其中D是在yOz平面上的投影区域，且),(zyxx是D上的单值函数，则  
dydzxxzyzyxfSdzyxfzyD221)],),,([),,(； 
（2）第二类曲面积分的积分元素dydz，dzdx，dxdy 是曲面  在平面yOz，zOx平面，xOy平面的投影元素，与在相应平面内投影区域的面积元素相差一个正负号，所以，第二类曲面积分只能化为积分元素对应的坐标平面内区域D上的二重积分。具体地 
dydzzyzyxPdydzzyxPD],),,([),,(， 
其中D是在yOz平面上的投影区域，的方程是),(zyxx，且),(zyxx是D上的单值函数，当取前侧时， 二重积分前取正号；当取后侧时， 二重积分前取负号； 
dzdxzxzyxQdzdxzyxQD]),,(,[),,(， 
其中D是在zOx平面上的投影区域，的方程是),(xzyy，且),(xzyy是D上的单值函数，当取右侧时， 二重积分前取正号；当取左侧时， 二重积分前取负号； 
dxdyyxzyxRdxdyzyxRD)],(,,[),,(， 
其中D是在xOy平面上的投影区域，的方程是),(yxzz，且),(yxzz是D上的单值函数，当取上侧时， 二重积分前取正号；当取下侧时， 二重积分前取负号.  
5问：格林公式，斯托克斯公式，高斯公式的重要性表现在哪些方面？ 
答  这三个公式是多元函数积分学的基本公式，都可以看作一元微积分基本公式（牛顿——莱卜尼兹公式）的推广，在理论和应用上都有重要作用。 
（1）三个公式分别建立了平面曲线积分与二重积分，空间曲线积分与曲面积分、曲面积分与三重积分之间的关系，而且每个公式都是微积分公式，和牛顿——莱卜尼兹公式一起，建立了全部微积分学之间的关系。为各种积分之间，微分与积分之间的转化提供了条件。 
（2）三个公式统称为场论三大公式，是刻化和研究许多物理现象的重要工具。 
（3）由格林公式可导出平面曲线积分与格经无关的充要条件，从而给出了平面保守场的特征刻画；可导出二元函数全微分求积的判定条件和具体方法，为解一类重要的微分方程——全微分方程提供了理论依据和具体解法。 
由斯托克斯公式可导出空间曲线积分与路经无关的充要条件。从而给出空间无旋场的特征刻






 
5 
化；可导出三元函数全微分求积的判定条件和具体方法。 
由高斯公式可导出曲面积分与积分曲面无关的条件，从而给出空间无源场的特征刻化。 6问：应用格林公式，斯托克斯公式，高斯公式计算积分应注意什么问题？ 
答  首先要注意公式成立的条件。一是积分曲线或积分曲面的闭性，二是积分曲线、积分曲面所围区域的方向性；三是被积表达式中的函数在区域上处处有一阶连续偏导数。条件不具备时，不能直接应用公式。 
其次，要注意用公式将曲线积分化为二重积分或曲面积分、将曲面积与化为三重积分后要容易计算。一般地，比较简单时，用高斯公式计算曲面积分比较简单；当         ，         ，          都比较简 单，且积分曲线是空间某一平面中的一条闭曲线时用斯托克斯公式计算空间曲线积分比较简单。 
7问：计算多元函数积分有哪些特殊的简单方法需要掌握？ 
答 （1）常数的积分：积分范围无向时，常数的积分等于常数与积分范围几何量之积。 （2）利用对称性简化计算的方法 
（3）曲线积分或曲面积分被积表达式中的变量满足曲线或曲面方程，可用于简化计算：例如： 
Ldsyx)(22中，L为圆周222ayx时，有 
          42222)(aLadsadsyxLL的长度 
    dxdyzyx)(222中，为半球面222yxaz的下侧时，有 
         )()(222422222ayxDadxdyadxdyadxdyzyxD：；     RdzQdyPdx中，为平面),(000yyxxzz内的曲线时，有
)0,0(0dydxdz； 
    RdxdyQdzdxPdydz中，
在平面yOz(zOx,xOy)内投影为曲线时，
)0,0(0dxdydzdxdydz.

还可以吧，，楼主辛苦了

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