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一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】由定义 所以 ，故 . 当 时， 是比 的高阶无穷小，所以 ，即 . 故选B (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】关于C选项： . ，所以 存在斜渐近线 . 故选C (3) 设函数 具有2阶导数， ，则在区间 上 （ ） (A) 当 时， (B) 当 时， (C) 当 时， (D) 当 时， 【答案】D 【解析】令 ，则 , , . 若 ，则 ， 在 上为凸的. 又 ，所以当 时， ，从而 . 故选D. (4) 曲线 上对应于 的点处的曲率半径是 （ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】 故选C (5) 设函数 ，若 ，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】因为 ，所以 故选D. (6) 设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有2阶连续偏导数，且满足 及 ，则 （ ） (A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得 (B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得 (C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得 (D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得 【答案】A 【解析】记 则 ,所以 在 内无极值，则极值在边界处取得. 故选A (7) 行列式 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】由行列式的展开定理展开第一列 . (8) 设 均为三维向量，则对任意常数 ,向量组 , 线性无关是向量组 线性无关的 ( ) (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 . 记 ， ， . 若 线性无关，则 ，故 线性无关. 举反例. 令 ，则 线性无关，但此时 却线性相关. 综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关的必要非充分条件. 故选A 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) __________. 【答案】 【解析】 (10) 设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________. 【答案】1 【解析】 且为偶函数 则 又 且为奇函数，故 又 的周期为4， (11) 设 是由方程 确定的函数，则 __________. 【答案】 【解析】对 方程两边同时对 求偏导 当 时, 故 故 (12) 曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】 【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ， 于是 对应于 切线斜率 所以切线方程为 即 (13) 一根长为1的细棒位于 轴的区间 上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标 __________. 【答案】 【解析】质心横坐标 (13) 设二次型 的负惯性指数是1，则 的取值范围_________. 【答案】 【解析】配方法： 由于二次型负惯性指数为1，所以 ，故 . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 求极限 【解析】 . (16)(本题满分10分) 已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小 值. 【解析】由 ，得 ………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为 由 得 又由①可得 当 时， ，且有： 所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值 即： 的极大值为1，极小值为0. | 
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