请教关于拉格朗日余项的问题

有些函数的泰勒展开式是缺项的，就比如sinx和cosx，

以cosx为例，如果不考虑余项，2阶和3阶的泰勒展开式是完全一样的，
则由于，则2阶和3阶的余项的值应该是一样的。

但2阶和3阶的拉格朗日余项的值可能是不同的，比如当0<x<π/2时，余项分别是

这两项一正一负。

书上和复习全书上给的泰勒公式中，对拉格朗日余项给出了硬性规定，
比如对于cosx，不管是2阶还是3阶泰勒展开式，都是用
作为余项。

到底如何？拜请指点！万谢！

多谢智轩老师了

原帖由 智轩 于 2008-7-4 18:28 发表
具体来说
1。如果展开的最后一项为2阶。对偶次存在项（奇次项全部为零），如cosx在零点的展开，拉格朗日余项一般写成4阶；佩亚若余项既可写成o（x的2阶），也可写成o（x的4阶）。
2。如果展开的最后一项为3阶 ...

原来如此。
不过，皮亚诺余项，就您举的例子，应该是
“1、可以为o(x^2)或者(x^3)
2、可以为o(x^3)或者(x^4)”
吧？

具体来说
1。如果展开的最后一项为2阶。对偶次存在项（奇次项全部为零），如cosx在零点的展开，拉格朗日余项一般写成4阶；佩亚若余项既可写成o（x的2阶），也可写成o（x的4阶）。
2。如果展开的最后一项为3阶。对奇次存在项（偶次项全部为零），如sinx在零点的展开，拉格朗日余项一般写成5阶；佩亚若余项既可写成o（x的3阶），也可写成o（x的5阶）。

恩，不好意思。我没有这些教材，冒犯之处请见谅。
下面仔细考虑了你的问题后得到：
个人人为，虽然两种余项形式不一样，但还是等价的，因为两种余项中的中值取的是不同的。
还有你举的那个例子是不合适的，两种不同余项是不能取同一个中值的。

总之：余项形式不同，所取的拉格朗日中值一般不能相同。

原帖由 lykwinner 于 2008-7-4 17:04 发表
那就按照最新版的教材上的为基准马

还是和没说一样，无语ing
书上既有通用泰勒公式也有sinxcosx的泰勒公式，两者是不同的，不同的，
你滴，明白？

那就按照最新版的教材上的为基准马

原帖由 lykwinner 于 2008-7-4 16:28 发表
这个是没有必要死扣的，按照展开式来写余项就行了，

你要搞清楚，按照通用的f（x）的泰勒展开公式写出来的sinx、cosx的余项和
按照书上全书上给出的sinx、cosx的泰勒展开公式写出来的余项是不同的，可以去看看2008全书P156。
按照哪个？搞清楚在发言。

这个是没有必要死扣的，按照展开式来写余项就行了，

原帖由 智轩 于 2008-7-4 10:28 发表
你的问题问得很好。你的疑惑在于没有搞清楚泰勒展开的余项的定义。
泰勒展开的余项（拉格朗日余项或佩亚诺余项）定义为：展开式后一项的阶次（不考虑缺项）。

哦，是不是说，不考虑缺项，只看是几阶的泰勒展开式，若为n阶，则余项一定是
？

这样的话，书上和复习全书上给出的sinx和cosx的泰勒公式就失去一般性了吧？

[ 本帖最后由 butonggaoxiang 于 2008-7-4 16:18 编辑 ]