关于二重积分的对称性问题

愚人宝宝 · 发表于 09-7-18 14:09:36

今天翻以前的题，结果给卡在一道题上，想了老久也没整明白，拿上来请大家指教指教~~谢谢！
已知计算
其中D为下列双曲线所围成：
（1）
（2）
参考解答所使用的方法是二重积分的对称性
（1）D的方程关于y对称，被积函数关于x为奇函数，同时关于x对称，被积函数关于y为奇函数，因此I=0
（2）D的方程关于原点对称，而被积函数是关于x,y的偶函数，由此进行一系列运算。
我不明白的地方是，（1）中的D是否关于原点对称（我个人认为是）？如果是的话，答案就不为零，那么对待这种题该何判断？

十分感谢啦！

[ 本帖最后由愚人宝宝于 2009-7-18 21:32 编辑 ]

mouse_123 · 发表于 09-7-23 14:36:30

哎，误人子弟呀，我有罪呀。
设x=rcos(a),y=rsin(a),r^2=sin(2a)>=0,所以2*k*pi<2a<2*k*pi+pi,又因为0<a<2*pi,所在k=0,k=1

即D为第一，第三象限里的，第二，第四象限没有。

愚人宝宝 · 发表于 09-7-22 21:16:39

谢谢你附图的讲解，可是第二问里答案不等于零呢~

mouse_123 · 发表于 09-7-22 08:37:59

第一题，D为关于X，Y，原点对称的区域，且D，为一对叶形，长轴在X轴上。f(x,y)=xy,关于原点f（-x,-y）=f(x,y).而D1关于x轴对称，f(x,y)关于y为奇函数，所以=0
第二题
D为四片叶形。因为D关于原点对称，f(-x,-y)=f(x,y),所以D1上积分=D3上的积分，D2上的积分=D4上的积分。
D1，D2关于y轴对称，f(x,y)=xy关于x为奇函数，所以=0

也可以用极座标代替，霸王硬上弓。我昨天就是这么干的。

愚人宝宝 · 发表于 09-7-21 13:14:51

为什么我还是不明白啊？前面的好兄弟贴上来的图的内容我也懂，可是你能再讲讲这道题我的疑惑吗？实在是想不通啊？为什么在原点对称和关于某轴对称的时候，要舍前者用后者呢？

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mythSun · 发表于 09-7-21 11:40:10

晕，我也搞不清了，容我再想想、、、

[ 本帖最后由 mythSun 于 2009-7-21 11:49 编辑 ]

jingbinzhen · 发表于 09-7-21 10:35:28

呵呵学习下

柯志勇 · 发表于 09-7-21 10:31:01

还行啊,值得我们学习好心人,有好报的顶你们大哥们希望你们可以实现你们心中的梦

zhs30 · 发表于 09-7-20 22:20:23

谢谢楼主
十分感谢无私的人。。

zhs30 · 发表于 09-7-20 22:18:10

谢谢楼主
十分感谢无私的人。。

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