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第1章 技 术
1．如果
是个凸集，那么相关的生产集
一定是凸的。对或错？
True or false ? If
is a convex set, then the associated production set
must be convex.
答：这个说法错误。理由如下：
凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：
证明：如果
是一个凸集，那么可以得出，对任何使
和
都在
中的
和
′来说，一定会有
在
中，即
在
中。从而可知：如果
和
在
中，那么
也在
中，从而可知
也是凸的。
下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。考虑由生产函数
规定的技术。生产集
当然不是凸的，但投入要素集
是凸集。
2．当
时，CES生产函数
的替代弹性是什么？
What is the elasticity ofsubstitution for the general CES technology
when
?
解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：
上式两边取对数后得到：
根据替代弹性的定义：
3．将要素
的产出弹性定义成：
，如果
，每个要素的产出弹性是什么？
Define the output elasticity of afactor
to be
.If
, what is the outputelasticity of each factor?
解：
，从而第一个要素的产出弹性为：
第二个要素的产出弹性为：
4．如果
是规模弹性，
是要素
的产出弹性，证明：
If
is theelasticity of scale and
is the output elasticity of factor
, show that
证明：对生产函数
，令
，其中
。规模弹性的定义为：
从而：
再利用产出弹性的定义就有：
5．对CES生产函数而言，
的规模弹性是什么？
What is the elasticity of scale ofthe CES technology,
?
答：
这意味着CES生产函数显示出不变规模收益，因此规模弹性为1。
或者用定义也可以求得这一结果，由于
所以：
，在
时计算这个导数的值并除以
，得到规模弹性为1。
6．当且仅当
时，可微函数
是严格增函数，判断对或错？
True or false? A differentiable function
is astrictly increasing function if and only if
.
答：该命题不正确。这是因为：如果
，可微函数是严格增函数，但反过来，则不一定成立。举例来说明，函数
是可微的，并且严格递增，但在
处的导数为零。
7．如果
是位似技术函数，并且
和
生产同样水平的产出，那么
和
也一定生产同样水平的产出。请证明这个结论。
In the text it was claimed that if
is a homothetictechnology and
and
producethe same level of output, then
and
must alsoproduce the same level of output. Can you prove this rigorously?
证明：首先阐述一下位似技术的定义：
位似技术是一个一次齐次函数的单调变换。换句话说，函数
是位似的，当且仅当它可以表示成
，其中
是一次齐次的，
是单调函数。
由于
和
′生产同样水平的产出，从而有
，又因为函数
是单调的，所以必有
，于是：
即
和
也一定生产同样水平的产出.
8．如果
是位似函数。证明它在
处的技术替代率等于它在
处的技术替代率。
Let
be ahomothetic function. Show that its technical rate of substitution at
equals itstechnical rate of substitution at
.
证明：位似函数可以写成
，其中
是一次齐次函数，
是单调函数。位似函数
在
处的技术替代率为：
从上式可以看出，一个位似函数的技术替代率与相应的一次齐次函数的技术替代率相等。而一次齐次函数在
处和
处的技术替代率相等，因此位似函数在
处和
处的技术替代率也相等。
9．考虑CES生产函数：
。证明可以把它写成
的形式。
Consider the CES technology
.Show that we can always writethis in the form
.
证明：改写过程如下：
最后令
，
10．假设
是一个生产集。如果
在
中和
在
中意味着
在
中，就可以认为该技术是加性的。如果
在
中，并且对任意的
，
在
中，就可以认为该技术是可分性的。证明：如果一项技术既是加性的又是可分性的，那么
一定是凸的且表现出规模报酬不变。
Let
be a production set. We say that thetechnology is additive if
in
and
in
implies that
is in
. We say that the technology isdivisible if
in
and 0≤
≤1 implies that
is in
. Show that if a technology is bothadditive and divisible, then
must be convex and exhibit constantreturns to scale.
证明：由于该技术满足可分性，这就意味着对于任意的介于0到1之间的实数
，
和
都在
中。而加性则意味着两者之和
也在
中，由此凸性即得证明。
对任意大于1的实数
，它总可以写成
，其中
表示
的整数部分，由于
，所以
，并且
。这样，若
在
中，则由可加性，
也在
中，再由可分性，
也在
中，再次利用可加性，
也在
中，这就意味着该技术是规模报酬不变的。
11．对每个投入要求集，判定其是否满足正则性、单调性和／或凸性。假定参数
和
以及产出水平严格为正：
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
（g）
For each input requirement setdetermine if it is regular, monotonic, and/or convex. Assume that theparameters
and
and the output levels are strictlypositive.
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
（g）
答：正则性是指对所有
而言，
是一个非空的闭集。正则性意味着总存在某种可想到的方法来生产出任意给定水平的产出。
单调是说如果
在
中，并且
，那么，
也在
中。单调性意味着增加要素肯定不会降低产出的水平。
凸性是指如果
和
都在
中，那么，对所有介于0和1之间的
而言，
也在
中。
（a）投入要求集满足正则性，单调性以及凸性。
（b）投入要求集满足正则性，单调性以及凸性。
（c）投入要求集是正则性的。
的导数都是正的，所以技术是单调性的。由于等产量曲线凸向原点，所以生产函数是凹的是充分的（但不是必要的）。为了验证这点，用生产函数的二阶导数形成一个矩阵，并看它是否为负半定。海赛矩阵的第一个主子阵必有一个负的行列式，第二个主子阵必有一个非负的行列式。
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