马文蔚《物理学》（第6版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第9章　振　动
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　9.3　名校考研真题详解
第10章　波　动
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　名校考研真题详解
第11章　光　学
　11.1　复习笔记
　11.2　课后习题详解
　11.3　名校考研真题详解
第12章　气体动理论
　12.1　复习笔记
　12.2　课后习题详解
　12.3　名校考研真题详解
第13章　热力学基础
　13.1　复习笔记
　13.2　课后习题详解
　13.3　名校考研真题详解
第14章　相对论
　14.1　复习笔记
　14.2　课后习题详解
　14.3　名校考研真题详解
第15章　量子物理
　15.1　复习笔记
　15.2　课后习题详解
　15.3　名校考研真题详解
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内容预览
第9章　振　动
9.1　复习笔记
在物理学中，广义地说，振动是指在某一数值附近作周期性的变化的物质的运动．
一、简谐运动、振幅、周期和频率、相位
1．简谐运动
（1）概念
简谐运动是指可以用时间的单一谐和函数，即一个余弦或正弦函数来描述的振动．
（2）弹簧振子
①平衡位置
平衡位置是指物体在水平方向所受的合外力为0的位置．
②概念
弹簧振子是指在弹性力作用下，物体在平衡位置附近作往复运动时这一包含弹簧和物体的振动系统．
③回复力
回复力是指物体所受到的弹性力F，由胡克定律可知，该弹性力与物体相对于平衡位置的位移x成正比，弹性力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置．有

式中比例常数k为弹簧的劲度系数，它由弹簧本身的性质（材料、形状、大小等）所决定，负号表示力与位移的方向相反．
③加速度

式中

．上式说明，弹簧振子的加速度a与位移的大小x成正比，而方向相反．
（3）简谐运动
①概念
简谐运动是指加速度与位移的大小成正比，而方向相反的振动．
②运动方程

其解为

它是简谐运动的运动方程，简称简谐运动方程．式中A和φ是积分常量．
2．振幅
振幅是指简谐运动中物体离开平衡位置最大位移的绝对值在简谐运动方程x＝Acos（ωt＋φ）中，因cos（ωt＋φ）的值在＋1和－1之间，所以物体的位移亦在＋A和－A之间，及振幅为A．
3．周期和频率
（1）周期
振动的周期是指物体作一次完全振动所经历的时间叫，用T表示，周期的单位为s，其数学表达式为：

由弹簧振子的

，所以弹簧振子的周期为

（2）频率
频率是指单位时间内物体所作的完全振动的次数，用ν表示，单位名称为赫兹，符号为Hz．频率与周期的关系为

（3）角频率
角频率ω等于物体在单位时间内所作的完全振动次数的2π倍

角频率又称圆频率，单位是rad·s-1（弧度每秒）．
（4）固有周期和固有频率
振动的固有周期和固有频率是指只由振动系统本身的固有属性所决定的周期和频率．例如弹簧振子的角频率

是由弹簧振子的质量m和劲度系数k所决定的，所以周期和频率只和振动系统本身的物理性质有关．
4．相位
振动的相位是指既决定了振动物体在任意时刻相对平衡位置的位移，也决定了它在该时刻的速度的物理量．在运动方程中，量值（ωt＋φ）叫做振动的相位，它决定了简谐运动物体运动状态．
初相位是指决定初始时刻（即开始计时的起点）振动物体运动状态的物理量．当t＝0时，相位（ωt＋φ）＝φ，故φ叫做初相位，简称初相．
5．常数A和φ的确定



其中φ所在象限可由x0及v0的正负号确定．
一般约定：
（1）x0＞0、v0＜0时的φ取在第一象限的值；
（2）x0＜0、v0＜0时的φ取在第二象限的值；
（3）x0＜0、v0＞0时的φ取在第三象限的值；
（4）x0＞0、v0＞0时的φ取在第四象限的值．
初始条件是指物体在t＝0时的位移x0和速度v0．上述结果说明，对一定的弹簧振子（即ω为已知量），它的振幅A和初相φ是由初始条件决定的．
总之，对于给定的振动系统，周期（或频率）由振动系统本身的性质决定，而振幅和初相则由初始条件决定．
二、旋转矢量
1．旋转矢量图
旋转矢量如图9-1中的矢量A所示．它的模等于振动的振幅A，使矢量A在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率ω相等．

图9-1旋转矢量图
2．矢量图的意义
（1）矢量图确定位移
旋转矢量A的矢端M在Ox轴上的投影点P的运动，可表示物体在Ox轴上的简谐运动．矢量A以角速度ω旋转一周，相当于物体在x轴上作一次完全振动．
（2）矢量图确定速度和加速度
①作匀速圆周运动的物体的速率是vm＝ωA，在时刻t，它在Ox轴上的投影是v＝vmcos（ωt＋φ＋π/2）＝－ωAsin（ωt＋φ），见图9-2；
②作匀速圆周运动的物体的向心加速度是an＝ω2A，在时刻t，它在Ox轴上的投影是a＝ancos（ωt＋φ＋π）＝－ω2Acos（ωt＋φ），见图9-2．

图9-2旋转矢量图中的速度和加速度
注意：旋转矢量本身并不作简谐运动，只是利用旋转矢量端点在Ox轴上的投影点的运动，来形象地展示简谐运动的规律的．
（3）比较两个同频率简谐运动的“步调”
①初相位
设有下列两个简谐运动

它们的相位之差叫相位差，用Δφ表示：

即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差，都等于其初相差．
②初相位的意义
a．若Δφ＝φ2－φ1＞0（如图9-3），认为x2振动超前x1振动Δφ，或者x1振动落后于x2振动Δφ．

图9-3两个简谐运动的相位差
b．若Δφ＝0（或者2π的整数倍），认为两个振动同相，即它们将同时到达正最大位移处，同时到达平衡位置，又同时到达负最大位移处，两个振动的“步调”完全一致．
c．若Δφ＝π（或者π的奇数倍），认为两个振动是反相的，即当它们中的一个到达正最大位移处时，另一个却到达负最大位移处，两个振动的“步调”完全相反．同相和反相的旋转矢量及x-t曲线如图9-4所示．

图9-4同相和反相的旋转矢量及x-t曲线
三、单摆和复摆
1．单摆
（1）概念
单摆是指把重物从平衡位置略微移开后放手，重物在平衡位置附近往复的运动从而形成的振动系统．重物称为摆锤，细线称为摆线．如图9-5所示．

图9-5单摆
（2）运动方程

上式表明，在θ很小时，单摆的角加速度与角位移成正比但方向相反，这具有简谐运动的特征，因而也是简谐运动．
（3）角频率、周期
单摆的角频率和周期分别为

单摆的周期决定于摆长和该处的重力加速度．利用上式可以确定该地点的重力加速度．
2．复摆
（1）概念
复摆装置如图9-6所示，质量为m的任意形状的物体，被支持在无摩擦的水平轴O上，将它拉开一个微小角度θ后释放，物体将绕轴O作微小的自由摆动．

图9-6复摆
（2）运动方程
若复摆对轴O的转动惯量为J，复摆的质心C到O的距离OC＝l则运动方程为：

在复摆的运动在摆角很小时，可视为简谐运动．
（3）角频率和周期

①如已知复摆对轴O的转动惯量J和复摆质心与该轴的距离l，通过实验测出复摆的周期T，则可求得该地点的重力加速度；
②如已知g和l，由实验测得T，可得复摆绕轴O的转动惯量J．
四、简谐运动的能量
1．弹簧振子系统的能量
（1）动能
设在某一时刻，物体的速度为v，则系统的动能

（2）弹性势能
若该时刻物体的位移为x，则系统的弹性势能

由上两式可知，系统的动能和势能都随时间t作周期性的变化．当物体的位移最大时，势能达到最大值，但此时动能为零；当物体的位移为零时，势能为零，而动能却达到最大值．
（3）系统的总能量

因ω2＝k/m，所以有

上式表明，弹簧振子作简谐运动的总能量与振幅的二次方成正比．
（4）总能量守恒
由于在简谐运动过程中，只有系统的保守内力（如弹性力）作功，其他非保守内力和外力均不作功，所以系统作简谐运动的总能量必然守恒，即系统的动能EK与势能EP不断地相互转换，总能量却保持恒定．
2．势能曲线
用如图9-7所示的弹簧振子的势能曲线．图中横轴表示位移，纵轴表示势能，曲线BOC是势能EP随位移x的变化关系，而对应于任意位移x，总能量与势能之差就表示动能．

图9-7简谐运动的势能曲线
3．结论
①对一定的弹簧振子系统来说，振动的总能量与振幅的二次方成正比，这个结论对非弹簧振子系统也适用；
②简谐运动的总能量保持恒定，体现在振动过程中就是振幅保持不变，即简谐运动是一种等幅振动．
五、简谐运动的合成
1．两个同方向同频率简谐运动的合成
（1）合成的概念
若两个同方向的简谐运动，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，则它们的运动方程分别为

因振动是同方向的，所以这两个简谐运动在任一时刻的合位移x仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即

（2）合成后的运动方程
用旋转矢量法可求得合位移为

表明合振动仍是简谐运动，它的角频率与分振动的角频率相同，而其合振幅为

合振动的初相为

（3）合振幅的影响因素
从上式可知，合振幅与两分振动的振幅以及它们的相位差（φ2－φ1）有关．
①若相位差（φ2－φ1）＝2kπ（k＝0，±1，±2，…），则

即当两分振动的相位相同或相位差为2π的整数倍时，合振幅等于两分振动的振幅之和，合成结果为相互加强．
②若相位差（φ2－φ1）＝（2k＋1）π（k＝0，±1，±2，…），则

即当两分振动的相位相反或相位差为π的奇数倍时，合振幅等于两分振动振幅之差的绝对值，即合成结果为相互减弱．
③在一般情形下，相位差（φ2－φ1）可取任意值，而合振幅值则在A1＋A2和|A1－A2|之间．
2．两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成
（1）合成运动方程
设有两个相互垂直的同频率的简谐运动，它们分别在x、y轴上运动，其简谐运动方程为

将上两式中的t消去，可得到合振动的轨迹方程

这是一个椭圆方程．
（2）运动方程的分类
运动轨迹方程的形状由两分振动的振幅及相位差φ2－φ1的值决定．
①若相位差Δφ＝φ2－φ1＝0，则上式变为

此时合振动的轨迹是一条通过坐标原点的直线，其斜率等于两个分振动振幅之比．
②若Δφ＝φ2－φ1＝π/2，则上式变为

合振动的轨迹为一正椭圆．当A1＝A2时，上式变为圆方程，合振动的轨迹为一圆．
③若Δφ为其他值，则合振动就是斜椭圆
a．0＜Δφ＜π时，椭圆是按顺时针方向旋转，称为右旋椭圆运动．
b．π＜Δφ＜2π时，椭圆作逆时针方向旋转，称为左旋椭圆运动．
3．多个同方向同频率简谐运动的合成
（1）概念
讨论N个简谐运动不仅振动方向相同、频率相同、振幅相同，而且依次间的相位差恒为Δφ．如果适当选择计时起点，使某个简谐运动的初相为零，则可写出这N个简谐运动分别为

式中A1＝A2＝…＝AN＝A0．由前面的讨论可以推知，这N个简谐运动的合振动仍为简谐运动，设其表达式为

（2）系统参数
用矢量图法求得合振动的振幅

从而得合振动的初相

（3）两种特殊情况
①若Δφ＝2kπ（k＝0，±1，±2，…），即N个同相位简谐运动的合成，于是由上式得出

这种情况在矢量图中就是N个矢量A1，A2，…，AN的方向都相同[图9-8（a）]，因而合振动的振幅最大，A＝NA0．
②若NΔφ＝2k′π（k′＝±1，±2，…，但不含N的整数倍），这时，在矢量图中N个矢量依次相接而构成了一个闭合的图形[图9-8（b）]，显然合振幅应为零．

图9-8
4．两个同方向不同频率简谐运动的合成
（1）合成概念
当两个同方向、不同频率的简谐运动合成时，由于这两个分振动的频率不同，因而它们的相位差随时间改变，合振动一般不再是简谐运动，情况比较复杂．一般只讨论两个简谐运动的频率v1、v2都比较大，而两频率之差却很小，即|v2－v1|≤（v2＋v1）的情况．
（2）拍的概念
拍是指将频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象．
（3）合振动的运动方程

（4）振幅
由于|v2－v1|≤（v2＋v1），所以可将式中

看成是合振动的频率

看成是合振动的振幅．这样，合振动的振幅随时间作缓慢的周期性变化，从而出现振幅时大时小的现象，合振幅的数值在0～2A1范围内．由于余弦函数的绝对值以π为周期，所以有

（5）周期和频率
合振幅变化的周期T＝1/（v2－v1）．所以合振幅变化的频率，即拍频

其数值为两个分振动的频率之差．
六、阻尼振动 受迫振动 共振
1．阻尼振动
（1）概念
阻尼运动是指振幅随时间而减小的振动．
（2）一般表达式
对于弹簧振子

式中

是振动系统的固有角频率，它由系统本身的性质所决定；δ＝C/2m叫阻尼系数，对一给定的振动系统，它由阻力系数决定．δ值越大，阻力影响就越大．
①当阻尼系数较小，即δ2＜ω02时，系统作阻尼振动，这时上方程的解为

式中

，而A、φ是积分常数，由起始条件决定．阻尼振动不是简谐运动，但在阻尼不大时，可近似地看作是一种振幅逐渐减小的简谐运动，周期为

大于无阻尼时的自由振动周期T0（＝2π/ω0）．见图9-9曲线a．
②若δ2＞ω02，物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置，完全不可能再作往复运动了．这种情况称为过阻尼，见图9-9曲线b．
③若δ2＝ω02，则ω＝0是物体不能作往复运动的临界情况，这时物体将从最大位移处逐渐回到平衡位置并静止下来．这种情况称为临界阻尼，见图9-9中的曲线c．

图9-9三种阻尼的比较
a欠阻尼；b过阻尼；c临界阻尼
2．受迫振动
（1）概念
受迫振动是指系统在周期性外力作用下所进行的振动．如扬声器中纸盆的振动、机器运转时引起基座的振动．
（2）运动方程

即受迫振动是由阻尼振动

和简谐运动

合成的．
在实际中，在驱动力开始作用时受迫振动的情况是相当复杂的，经过不太长的时间，阻尼振动就衰减到可以忽略不计，即上式右方第一项趋于零，受迫振动达到稳定状态．这时，振动的周期即是驱动力的周期，振动的振幅保持稳定不变．于是受迫振动变为简谐运动，有

式中振动的角频率就是驱动力的角频率ωp，而振幅A、初相ψ既和振动系统的性质及阻尼情况有关，也和驱动力的频率及力幅有关．
（3）参数的大小
A和ψ由下述两式决定：

从能量的角度看，当受迫振动达到稳定后，周期性外力在一个周期内对振动系统作功而提供的能量，恰好用来补偿系统在一个周期内克服阻力作功所消耗的能量，因而使受迫振动的振幅保持稳定不变．
3．共振
（1）共振角频率
稳定状态下受迫振动的一个重要特点是振幅A的大小与驱动力的角频率ωp有很大的关系．
①当驱动力的角频率ωp与固有角频率ω0相差较大时，受迫振动的振幅A比较小；
②当ωp接近ω0时，振幅A将随之增大；
③在ωp为某一定值时，振幅A达到最大值；
共振是指驱动力的角频率为某一定值时，受迫振动的振幅达到极大的现象．共振时的角频率叫做共振角频率，以ωr表示．
图9-10是对应于不同δ值的A－ωp曲线，即在不同阻尼时，振幅A随外力的角频率ωp变化的关系曲线，图中ω0是振动系统的固有角频率．

图9-10共振频率
（2）参数的大小
振幅A有最大值时，驱动力的角频率ωp等于共振角频率ωr即

因此，系统的共振频率是由固有频率ω0和阻尼系数δ决定的．
共振时的振幅

由上两式可知，阻尼系数越小，共振角频率ωr越接近于系统的固有角频率ω0，同时共振的振幅Ar也越大，若阻尼系数趋近于零，则ωr趋近于ω0，振幅将趋于无限大（图9-10）．
（3）共振的应用与危害
①钢琴、小提琴等乐器的木质琴身，利用了共振现象使其成为一共鸣盒，将优美悦耳的音乐发送出去，以提高音响效果．
②收音机的调谐装置利用了共振现象，以接收某一频率的电台广播．
③超声波发生器测量金属的厚度，则是利用超声波发生器的频率可均匀地改变，当该发生器与金属壁接触时，若发生器的振荡频率正好等于金属壁的固有频率，金属壁所产生的振动便特别强烈，根据金属壁的振动强度可测出其厚度．
④共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严重的破坏．
⑤汽车行驶时，若发动机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生强烈的共振而受到损坏．
因此，为了不产生共振现象或减小共振的影响，可采取一些办法，如破坏外力的周期性，改变物体的固有频率，改变外力的频率，增大系统的阻尼等来达到目的．
七、电磁振荡
1．振荡电路 无阻尼自由电磁振荡
（1）振荡电路
电磁震荡是指在电路中，电流和电荷以及与之相伴随的电场和磁场的振动．
振荡电路是指由电容C和自感L组成的LC电路．
（2）无阻尼自由电磁振荡
无阻尼自由电磁震荡是指电路中没有任何能量耗散（转换为焦耳热、电磁辐射等），电磁震荡过程在电路中一直继续下去的过程，无阻尼自由电磁振荡LC电磁振荡．
2．无阻尼电磁振荡的振荡方程
（1）振荡方程

正是简谐运动微分方程，其解为

式中q为任一时刻电容器极板上的电荷，Q0是其最大值，叫做电荷振幅，φ是初相，ω是振荡的角频率．
（2）参数大小
Q0和φ的数值由起始条件决定．频率和周期分别为

由式知，振荡的频率v，是由振荡电路本身的性质，即由线圈的自感L和电容器的电容C所决定的．
（3）振荡电流
把q对时间求导数，可得电路中任意时刻的电流为

令，I0为电流的最大值，叫做电流振幅，则ωQ0＝I0，上式为

在LC电磁振荡电路中，电荷和电流都随时间作周期性变化，电流的相位比电荷的相位超前π/2．当电容器的两板上所带的电荷最大时，电路中的电流为零，反之，电流最大时，电荷为零．
3．无阻尼自由电磁振荡的能量
（1）电场能量
设电容器的极板上带有电荷q，则电容器中的电场能量为

这表明，LC振荡电路中的电场能量也是随时间t作周期性变化的．
（2）磁场能量
当自感线圈中通过电流i时，线圈中的磁场能量为

这表明，LC振荡电路中的磁场能量也是随时间t作周期性变化的．
（3）总能量
LC振荡电路中的总能量为

可见，在无阻尼自由电磁振荡过程中，电场能量和磁场能量不断地相互转化，但在任何时刻，其总和保持不变．在电场能量最大时，磁场能量为零；反之，磁场能量最大时，电场能量为零．
（4）能量守恒条件
①电路中的电阻必须为零，这样在电路中才会避免因电阻产生的焦耳热而损耗电磁能；
②电路中不存在任何电动势，即没有其它形式的能量与电路交换；
③电磁能还不能以电磁波的形式辐射出去．
实际上任何振荡电路都有电阻，电磁能量不断地转换为焦耳热，而且在振荡过程中，电磁能量不可避免地还会以电磁波的形式辐射出去．因此LC电磁振荡电路是一个理想化的振荡电路模型．
八、简述非线性系统
1．大角度摆
（1）运动方程

式中ω0是角频率，将sinθ展为级数：

为简单计，取前两项得

应用迭代法求得其一次迭代近似解为

其中

若用振动学的术语来说，它是由两种振动组成的合振动，即由一个以ω为角频率的简谐运动与一个以3ω为角频率的振动叠加而成的合振动，并且初始条件将会影响摆的运动形式．
（2）起始能量的影响
图9-11示出了三种不同的起始能量所导致的摆的三种不同运动．

图9-11起始能量不同导致大角度摆的三种不同运动
①图（a）是起始能量较小的情况，摆在偏离一定角度θ后，摆锤将沿原路摆回作往复性运动；
②图（b）所示的起始能量较大，摆锤将不会沿原路返回，运动将不再具有往复性；
③图（c）表示起始能量更大时，摆锤将在竖直平面内作圆周运动，而这已不是通常意义上的摆动了．
2．非线性系统具有的特征
（1）叠加原理不再成立；
（2）初始条件的不同，会导致很不相同的运动形式；
（3）可能出现完全随机的混沌行为．

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