2018年线性代数考研辅导讲义与同步练习

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/157521.html
目录                                                                                        封面
内容简介
目录
第1章　行列式
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第2章　矩　阵
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第3章　向量组的线性相关性
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第4章　线性方程组
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第5章　相似矩阵及二次型
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习
第6章　线性空间与线性变换
　一、考研辅导讲义
　二、同步练习

内容预览
第1章　行列式
一、考研辅导讲义
1．全排列
把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示．
2．逆序数
对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，

个不同的自然数，可规定为由小到大），当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素构成一个逆序．一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数．用

表示排列

的逆序数．
注：（1）若逆序数是奇数，称为奇排列，否则称为偶排列．
（2）排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
（3）奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数．
3.n阶行列式
设有n2个数，排成n行n列的数表，记作

称为n阶行列式，简记作det（aij），其中数aij为行列式D的第（i，j）元素．n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，即

4．几类典型的n阶行列式
（1）下（上）三角形行列式



（2）对角行列式

（3）范德蒙德行列式

（4）两个特殊的拉普拉斯展开式



5．行列式的性质
（1）对换行列式的两行（列），行列式变号；
（2）有两行（列）元素成比例的行列式等于0，特别的，两行相等，行列式值为0；
（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式；
（4）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和；
（5）某行的k倍加到另一行，行列式的值不变；
（6）有一行（列）全为0的行列式等于0．
【例】设

为3阶矩阵，

,

为

的伴随矩阵，若交换

的第一行与第二行得到矩阵

，则

______．[数二、数三2008研]
【答案】－27查看答案
【解析】

，其中

，可知

．
6．行列式按行（列）展开
（1）余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n－1阶行列式记作Mij，称为（i，j）元aij的余子式，称

为（i，j）元aij的代数余子式．
【例】设

是三阶非零矩阵，

为A的行列式，Aij为aij的代数余子式,若

，则｜A｜＝______．[数一、数二、数三2013研]
【答案】－1查看答案
【解析】由

可知，

，则

故

（2）行列式的展开公式
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

或

【例】行列式

______.[数一、数三2016研]
【答案】

【解析】

【例】行列式

等于（　　）．[数一、数二、数三2014研]
A．

B．

C．

D．

【答案】B查看答案
【解析】

【例】

阶行列式

＝______．[数一2015研]
【答案】

【解析】将

阶行列式按第一行展开


（3）代数余子式的性质

或

7．方阵的行列式
（1）若A是n阶矩阵，

是A的转置矩阵，则

；
（2）若A是n阶矩阵，则

；
（3）若A、B都是n阶矩阵，则

；
（4）若A是n阶矩阵，则

；
（5）若A是n阶可逆矩阵，则

；
（6）若A是n阶矩阵

是A的特征值，则

；
（7）若n阶矩阵A和B相似，则|A|＝|B|．
（8）设

是3阶矩阵，则A的特征多项式

其中

【例】设A，B为3阶矩阵，且


______．[数二、数三2010研]
【答案】3查看答案
【解析】因为

所以

8．行列式的应用
（1）


线性方程组Ax＝0有非零解；
【例】设n元线性方程组Ax＝b，其中

证明行列式︱A︱＝（n＋1）

．[数一、数三2008研]
证明：

现用数学归纳法证明．
当n＝1时，

，结论成立．
当

，显然结论成立．
假设当n≤k时，结论成立，即

＝（k＋1）

，则当n＝k＋1时，有


即当n＝k＋1时，结论成立．综上可得，︱A︱＝（n＋1）

．
（2）



；
（3）


0是A的特征值；
【例】设3阶矩阵

的特征值为

．若行列式

，则

______．[数二2008研]
【答案】

【解析】因为

，故有

，所以λ＝－1．
【例】设3阶矩阵

的特征值为

，其中

为3阶单位矩阵，则行列式

______．[数二、数三2015研]
【答案】21查看答案
【解析】因为矩阵

的特征值为2、－2、1，所以B的所有特征值为3、7、1，所以可得

．
（4）



．

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/157521.html