奥本海姆《信号与系统》（第2版）笔记和课后习题（含考研真题）详解（下册）

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内容简介
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第7章　采　样
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
第8章　通信系统
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　8.3　名校考研真题详解
第9章　拉普拉斯变换
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　9.3　名校考研真题详解
第10章　z变换
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　名校考研真题详解
第11章　线性反馈系统
　11.1　复习笔记
　11.2　课后习题详解
　11.3　名校考研真题详解
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内容预览
第7章　采　样
7.1　复习笔记
一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理
1．冲激串采样
（1）冲激串采样的定义
冲激串采样是指用一个周期冲激串p(t)去乘待采样的连续时间信号x(t)。
该周期冲激串p(t)称为采样函数，周期T称为采样周期，而p(t)的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。
（2）采样过程（图7-1）
在时域中有

其中

即

由相乘性质

有

因为信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，于是有

即Xp(jω)是频率ω的周期函数，它由一组移位的X(jω)的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。

图7-1　冲激串采样
（3）采样定理
设x(t)是某一个带限信号，在|ω|＞ωM时，X(jω)＝0。如果ωs＞2ωM，其中ωs＝2π/T，那么x(t)唯一地由其样本x(nT)，n＝0，±1，±2，… 所确定。
已知这些样本值，重建x(t)的办法：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于

的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x(t)。频率2ωM称为奈奎斯特率。
2．零阶保持采样
（1）零阶保持的含义（图7-2）
在一个给定的瞬时对x(t)采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止。

图7-2　利用零阶保持采样
（2）零阶保持采样的过程
零阶保持的输出x0(t)在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到。
①用一个单位冲激响应为hr(t)，频率响应为Hr(jω)的线性时不变系统来处理x0(t)。
②给出一个Hr(jω)，以使r(t)＝x(t)。

这就要求

若H的截止频率等于ωs/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-4所示。零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。

图7-3　作为冲激串采样，再紧跟一个具有矩形单位
冲激响应的线性时不变系统的零阶保持

图7-4　为零阶保持采样重建信号的重建滤波器的模和相位特性
二、利用内插由样本重建信号
内插是指用一连续信号对一组样本值的拟合。
1．零阶保持
2．线性内插（一阶保持）
（1）线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来。
（2）利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插（即带限内插）：
①输出x0(t)为

时

上式体现了在样本点x(nT)之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。
②对于理想低通滤波器H(jω)，h(t)为

所以有

按照上式在ωc＝ωs／2时的重建过程如图7-5所示。

图7-5　利用sinc函数的理想带限内插
（a）带限信号x(t)；
（b）x(t)的样本冲激串；
（c）用xr的sinc函数的叠加取代冲激串的理想带限内插。
3．高阶保持
三、欠采样的效果：混叠现象
混叠是指采样后信号的频谱发生重叠导致失真的现象。即当ωs＜2ωM时，x(t)的频谱X(jω)不在X0(jω)中重复，因此利用低通滤波不能把x(t)从采样信号中恢复出来，这时单项发生重叠，被重建的信号xr(t)不等于x(t)。
四、连续时间信号的离散时间处理
1．对连续时间信号的处理方法（图7-6）

图7-6　连续时间信号的离散时间处理
（1）连续时间信号xc(t)可以完全用一串瞬时样本值xc(nT)来表示：
xd[n]＝xc(nT)
（2）把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节。

图7-7　用一个周期冲激串采样，再跟着一个到离散时间序列的转换。
（a）整个系统；
（b）两种采样率的xp(t)，虚线包络代表xc(t)；
（c）两种不同采样率的输出序列。
①第一步代表一个采样过程，冲激串xp(t)是一个冲激序列，各冲激的幅度与xc(t)的样本值相对应，而在时间间隔上等于采样周期T。
②在从冲激串到离散时间序列的转换中，得到xd[n]；这是以xc(t)的样本值为序列值的同一序列，但是其单位间隔采用新的自变量n。
实际上从样本的冲激串到样本的离散时间序列的转换可认为是一个时间的归一化过程。
③离散时间到连续时间的转换，即恢复过程。
连续时间的频率变量用ω表示，将离散时间的频率变量用Ω表示。
2.Xc(jω)、Xp(jω)和Xd（ejΩ）的关系
xc(t)和yc(t)的连续时间傅里叶变换分别用Xc(jω)和Yc(jω)表示；而xd[n]和yd[n]的离散时间傅里叶变换分别用

和

表示。
（1）用xc(t)的样本值来表示xp(t)的连续时间傅里叶变换Xp(jω)

又δ（t－nT）的傅里叶变换是e-jωnT，所以

现在考虑xd[n]的离散时间傅里叶变换，即

因为xd[n]＝xc(nT)

从而可得Xd（ejΩ）和Xp(jω)的关系

又因为

因此得到

（2）Xc(jω)、Xp(jω)和Xd（ejΩ）三者之间的关系
①Xd（ejΩ）是Xp(jω)的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。
②xd[n]和xr(t)之间的频谱关系，是通过先把xc(t)的频谱Xc(jω)按

进行周期重复，然后再跟着一个按

的线性频率尺度变换联系起来的。

图7-8　在两种不同采样率下，Xc(jω)、Xp(jω)和Xd(ejΩ)之间的关系
3．利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统

图7-9　利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统

图7-10　图7-9所示系统的频域说明。
（a）连续时间信号的频谱Xc(jω)；
（b）冲激串采样以后的谱；
（c）离散时间序列xd[n]的谱；
（d）Hd(ejΩ)和Xd(ejΩ)相乘后得到的Yd(ejΩ)；
（e）Hp(jω)和Xp(jω)相乘后得到的YP(jω)；
（f）Hc(jω)和Xc(jω)相乘后得到的Yc(jω)。
（1）图7-10左边是某一代表性的频谱Xc(jω)、Xp(jω)和Xo(ejΩ)，其中假定ωM＜ωs/2，所以没有混叠发生。相应于时间滤波器输出的谱yd(ejΩ)是Xd(ejΩ)和Hd(ejΩ)相乘，如图7-10（d）所示。
（2）变换到Ye(jω)就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图7-10（e）和图7-10（f）所示。
（3）因为Yd(ejΩ)是两个互为重叠的频谱积，如图7-10（d）所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。
（4）将图7-10（a）和（f）讲行比较，可得

，在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图7-10的整个系统事实上就等效于一个相应为Hc(jω)的连续时间系统，而Hc(jω)与离散时间频率响应Hd(ejΩ)的关系为

等效的连续时间滤波器的频率响应是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有线性尺度变化。
4．数字微分器
（1）连续时间微分滤波器的频率响应

（2）截止频率为ωc的带限微分器的频率响应

（3）ωs＝2ωc时相应的离散时间的频率响应Hd(eiΩ)

因此只要xc(t)的采样中没有混叠产生，yc(t)一定是xc(t)的导数。

图7-11　连续时间理想带限微分器的频率响应Hc(jω)＝jω，|ω|＜ωc

图7-12　用于实现一个连续时间带限微分器的离散时间滤波器的频率响应
5．半采样间隔延时
（1）在输入xc(t)是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出是用下列关系联系起来的：

其中Δ代表延时时间。
（2）根据时移性质，频率响应为

（3）截止频率为ωc的带限微分器的频率响应（图7-13（a））。要被实现的等效连续时间系统必须是带限的，因此选取

ωc是该连续时间滤波器的截止频率。即Hc(jω)对于带限内的信号就相应于

的一个时间移位，而对于比ωc高的频率则全部滤除。
（4）若取采样频率ωs＝2ω，则相应的离散时间频率响应（图7-13（b））为：



图7-13　
（a）连续时间延时系统频率响应的模和相位特性；
（b）相应的离散时间延时系统频率响应的模和相位特性。
（5）半采样间隔延时
当

，即输入的延时，若Δ/T是一个整数，序列yd[n]是xd[n]的延时，即

五、离散时间信号采样
1．脉冲串采样
（1）采样过程
由采样过程形成的新序列xp[n]在采样周期N的整倍数点上就等于原来的序列x[n]，而在采样点之间都是零，即



（2）

，

和

的关系

在频域内有

采样序列p[n]的傅里叶变换是

式中采样频率

。于是有









图7-14　一个离散时间信号经脉冲串采样后的频域效果
（a）原始信号的频谱；
（b）采样序列的频谱；
（c）在

时已采样信号的频谱；
（d）在

时已采样信号的频谱，这时发生了混叠。
（3）信号的恢复（图7-15）
在

没有频谱重叠的情况下，

如实地在

和2π的整数倍附近再现，这样

就能利用增益为N，截止频率大于ωm而小于

的低通滤波器从

中恢复出来。（该低通滤波器的截止频率为

。）









图7-15　利用理想低通滤波器从样本中完全恢复一个离散时间信号。
（a）一个带限信号采样并从样本中恢复的方框图；
（b）信号

的频谱；
（c）

的频谱；
（d）截止频率为

的理想低通滤波器的频率响应；
（e）重建信号

的频谱。
（4）该低通滤波器的单位脉冲响应

重建的序列

是

或者等效地写成

上式代表一种理想的带限内插，从而要求实现一个理想低通滤波器。
在一般应用中，往往使用一个适当近似的低通滤波器，这时等效的内插公式为

，
其中

是内插滤波器的单位脉冲响应。
2．离散时间抽取与内插
（1）离散时间抽取
①采样序列

：用已采样序列

中的每隔N点上的序列值构成的，即

或因为

和

在N的整数倍上都是相等的，可等效为

②

和

的关系

或利用

，有

令

或者

，且因为当n不为N的整数倍时，

，所以

于是

的傅里叶变换为

所以二者的关系为

已采样序列

和抽取序列

的频谱差别只体现在频率尺度上或归一化上。如果原来的频谱

被适当地带限，以至于在

中不存在混叠，抽取的效果是将原来序列的频谱扩展到一个较宽的频带部分。
③

和抽取序列

之间的关系：
a．如果这个原始序列

经由连续时间信号采样而得到，那么抽取过程就可以看成在连续时间信号上将采样率减小为原来的l/N的结果。
b．为了避免在抽取过程中产生混叠，原序列

的

就不能占满整个频带。即，如果序列能够被抽取而又不引入混叠，那么原来的连续时间信号是被过采样了的，从而原采样率可以减小而不会发生混叠。因此，抽取的过程往往就称为减采样。
（2）内插（或增采样）
内插（或增采样）是把一个序列转换到一个较高的等效采样率上的过程，基本上是抽取或减采样的逆过程。
由xb[n]可形成序列xp[n],这只需要在xb[n]的每一个序列值之间插入(N－1)个幅度为零的序列值即可。然后可以利用低通滤波从xp[n]中得到这个已被内插了的序列x[n]。
7.2　课后习题详解
基本题
7.1　已知实值信号x(t)，当采样频率

时，x(t)能用它的样本值唯一确定。问

在什么ω值下保证为零？
解：因为

为实函数，故

是偶函数。由题意及采样定理知

的最大角频率

，即当

时，


7.2　连续时间信号x(t)从一个截止频率为

的理想低通滤波器的输出得到，如果对x(t)完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x(t)在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？





解：因为x(t)是某个截止频率

的理想低通滤波器的输出信号，所以x(t)的最大频率就为

，由采样定理知，若对其进行冲激采样且欲由其采样点恢复出x(t)，需采样频率

，即采样时间间隔

从而有（a）和（c）两种采样时间间隔均能保证x(t)由其采样点恢复，而（b）不能。
7.3　在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。试确定下列各信号的奈奎斯特率：





解：（a）x(t)的频谱函数为

由此可见　　　　　　　

故奈奎斯特频率为　　　

（b）x(t)的频谱函数为

由此可见

故奈奎斯特频率为　　

（c）x(t)的频谱函数为

由此可见，当

故奈奎斯特频率为

。
7.4　设x(t)是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：







解：（a）因为

的傅里叶变换为

可见x(t)的最大频率也是

的最大频率，故

的奈奎斯特频率为ω0。
（b）因为

的傅里叶变换为

，可见x(t)的最大频率也是

的最大频率．故

的奈奎斯特频率仍为ω0。
（c）因为

的傅里叶变换为

，可见

的最大频率是x(t)的2倍。从而知x2(t)的奈奎斯特频率为2ω0。
（d）因为

的傅里叶变换为


，x(t)的最大频率为

，故

的最大频率为

，从而可推知其奈奎斯特频率为


7.5　设x(t)是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设

，其中

当某一滤波器以y(t)为输入，x(t)为输出时，试给出该滤波器频率响应的模和相位特性上的限制。
解：p(t)是一冲激串，间隔

对x(t)用p(t－1)进行冲激采样。先分别求出p(t)和p(t－1)的频谱函数：

注意

是x(t)的奈奎斯特频率，这意味着x(t)的最大频率为

，当以p(t－1)对x(t)进行采样时，频谱无混叠发生。由Y（

）的表达式可见，Y（

）是x（

）平移且复指数函数加权之后的叠加，且此采
样使

中的每个

的复制项

均有不同的相移

。若想输入y(t)，而输出为x(t)，滤波
器的截止频率ωc应选择在

至

之间。因当

时

故滤波器的幅度频谱只需设置为常数T，相位频谱为0即可，即滤波器的频率响应为

，


7.6　在如图7-1所示系统中，有两个时间函数x1(t)和x2(t)相乘，其乘积ω(t)由一冲激串采样，x1(t)带限于ω1，x2(t)带限于ω2，即


试求最大的采样间隔T，以使ω(t)通过某一理想低通滤波器能从ωp(t)中恢复出来。

图7-1
解：因

从而有


又因

即ω(t)的最大角频率为

于是由采样定理知，对ω(t)采样的最小角频率为

从而可求得最大采样时间间隔

。
7.7　信号x(t)用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x0(t)，设x1(t)是在x(t)的样本上经过一阶保持处理的结果，即

其中h1(t)是如图7-2所示的函数。试给出一个滤波器的频率响应，当输入为x0(t)时，该滤波器产生的输出为x1(t)。

图7-2
解：


7.8　有一实值且为奇函数的周期信号x(t)，它的傅里叶级数表示为

令

代表用采样周期T＝0.2的周期冲激串对x(t)进行采样的结果。
（a）混叠会发生吗？
（b）若

通过一个截止频率为π/T和通带增益为T的理想低通滤波器，求输出信号g(t)的傅里叶级数表示。
解：（a）由题意知，x(t)的傅里叶级数为x(t)

故x(t)的频谱函数为



如图7-3所示，可见x(t)的最大角频率

。

图7-3
当采样时间间隔T＝0.2时，采样角频率

造成

的频谱函数

如图7-4所示

处由于出现混叠，相互抵消


由图7-4可知，当T＝0.2时，采样会造成频谱出现混叠。

图7-4
（b）若x(t)通过一截止频率

通带增益为T＝0.2的理想低通滤波器，由图7-4易知，输出信号g(t)的频谱函数为

从而可知g(t)的傅里叶级数表达式为


7.9　考虑信号x(t)为

,现想用采样频率

，对x(t)进行采样，以得到一个信号g(t)，其傅里叶变换为G(jω)。为确保

求ω0的最大值，其中x(jω)为x(t)的傅里叶变换。
解：因为

故有　　　　　　　　

即x(t)的最大角频率

＝100 π。又因

即有

显然，由于

频谱发生混叠，为了保证当

最大只能等于



7.10　判断下面每一种说法是否正确。
（a）只要采样周期

信号

的冲激串采样就不会有混叠。
（b）只要采样周期

傅里叶变换为

的信号x(t)的冲激串采样就不会有混叠。
（c）只要采样周期

傅里叶变换为

的信号x(t)的冲激串采样就不会有混叠。
答：（a）因为信号

的频谱函数为

，即

不是带限信号，所以无论采样频率多高，采样的时间间隔多么小，采样必然会导致频谱的混叠。这个论断是错误的。
（b）因为频谱函数为

说明x(t)是带限的，且最高频率为

，那么根据采样定理知，只要采样频率

，即采样时间间隔

就可以保证无混叠发生。这个论断是正确的。
（c）设对x(t)进行冲激串采样得到信号

(t)，易知

现已知

，如图7-5所示。若采样时间间隔

,那么

。此时

如图7-6所示，可见并无混叠发生。那么，当

时，就更不会出现混叠了。所以此论断是正确的。

图7-5　　　　　　　　　　图7-6
7.11　设

是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点：

某一离散时间信号经由

而得到。试对下列每一个有关

的傅里叶变换

所给限制，确定在

上的相应限制：
（a）

为实函数
（b）对所有ω，

的最大值是1
（c）

（d）

解：将连续时间信号进行离散化处理

（a）要让

为实函数，则

为实函数
（b）对所有ω，

的最大值是1

（c）

，又

，故

此时应满足　　　　　　　　　　　　

又由题目可知

综上所述：

。
（d）


7.12　有一离散时间信号

其傅里叶变换

具有如下性质：

现该信号被转换为一连续时间信号为

其中T＝10-3。确定xc(t)的傅里叶变换

保证为零的ω值．
解：由连续时间信号与离散时间处理知：连续时间信号

和离散时间信号频率ω的关系为：Ω＝Tω， 所以当连续时间信号为Ω＝ωd＝3π/4，离散时间信号的频率为：ωc＝ωd/T＝750π。
7.13　参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T，输入xc(t)为带限，而有

。若整个系统具有

试求图7-7中离散时间滤波器的单位脉冲响应



图7-7
解：令

，则

由xc(t)可得对应的离散时间信号序列xd[n]

同理可由yc(t)可得对应的离散时间信号序列yd[n]

由上式可得当n＝2时，等式右边恒为0，当n≠2时，上式的极限为

，故

所以此滤波器的脉冲响应为：


7.14　假定在上题中有

重做习题7.13。
解：令

，则总输出

由xc(t)可得离散时间序列xd[n]

同理可由yc(t)可得离散时间序列yd[n]



恒成立，故

所以此滤波器的脉冲响应为


7.15　对

进行脉冲串采样，得到

．若


试确定当采样

时保证不发生混叠的最大采样间隔N。
解：


7.16　关于

及其傅里叶变换

给出下列条件：
（1）

为实序列
（2）

（3）

求

。解题时注意到：

满足其中的两个条件是有用的。
解：

满足第一个和第二个两个条件，但是不满足第三个条件。
因为此信号的傅里叶变换

是矩形波，当

时，傅里叶变换为0；

符合前两个条件，

在

时是一个矩形，显然满足第三个条件。综上所求的

为


7.17　考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为

频率响应在

条件下为

,求单位脉冲响应为h[2n]的滤波器的频率响应。
解：抽样分两步进行，第一步进行脉冲抽样，得到：

由

可得抽样频率。

的傅里叶变换为：



图7-8

即

是

扩展2倍得到的，图像如图7-9所示。

图7-9
故h[2n]理想低通滤波器，截止频率为π/2，通带增益为1。
7.18　假设截止频率为π/2的一个理想离散时间低通滤波器的单位脉冲响应是用于内插的，以得到一个2倍的增采样序列，求对应于这个增采样单位脉冲响应的频率响应。

图7-10
解：两倍的内插会导致频率响应被压缩两倍，内插的脉冲响应相当于一个截止频率为π/4，通带增益为2的理想低通滤波器。
7.19　考虑如图7-11所示的系统，输入为x[n]，输出为y[n]。零值插入系统在每一序列x[n]值之间插入两个零值点，抽取系统定义为

其中ω[n]是抽取系统的输入序列。若输入x[n]为

，试确定下列ω1值时的输出y[n]：





图7-11
解：设x[n]经零值插入后得输出z[n]。
（a）各部分输出信号如图7-12（a）所示。

时，

，

，所以

因此

。又由

，可得

。
（b）各部分输出信号如图7-12（b）所示。

时，

，所以

，

。


图7-12
7.20　有两个离散时间系统S1和S2用于实现一个截止频率为π/4的理想低通滤波器。系统S1如图7-13（a）所示，系统S2如图7-13（b）所示。在这些图中，SA相应于一个零值插入系统，在每一个输入样本之后插入一个零值点；而SB相应于一个抽取系统，在其输入中每两个取一个。
（a）S1相应于所要求的理想低通滤波器吗？（b）S2相应于所要求的理想低通滤波器吗？



图7-13
解：（a）假设

如图7-14所示，则傅里叶变换

是

的输出信号，傅里叶变换

是低通滤波器的输出，

是

的输出，如图7-14所示。显然S1实现了理想低通滤波器的功能。
（b）假设

如图7-14所示，则傅里叶变换

是

的输出，傅里叶变换

是第一个低通滤波器的输出，

是

的输出信号，傅里叶变换

是第二个低通滤波器的输出，如图7-14所示。显然S2不能实现理想低通滤波器的功能。

图7-14
基本题
7.21　一信号x(t)，其傅里叶变换为X(jω)，对x(t)进行冲激串采样，产生

为

其中

。关于x(t)和/或X(jω)进行下列一组限制中的每一种，采样定理能保证x(t)可完全从

中恢复吗？

解：采样时间间隔

，则采样频率

（a）由所给条件知，x(t)的奈奎斯特频率为


，因采样频率

，故由采样定理知，x(t)能够由xp(t)恢复得到。
（b）由所给条件知

的奈奎斯特频率


而采样频率

，故由采样定理知，x(t)无法由xp(t)恢复得到。
（c）虽然已知当

时

，但不知当

时，

是否也为0，故无法确定信号x(t)的奈奎斯特频率，所以无法保证能由xp(t)恢复x(t)。
（d）因为x(t)是实信号，所以

是偶函数，即当

，则可推知当

时，

也等于0，从而可知x(t)的奈奎斯特频率

采样频率

，故由采样定理知，x(t)可由xp(t)恢复得到。
（e）与（d）同理，由已知条件可知x(t)的奈奎斯特频率


，由于采样频率

，故由采样定理知，x(t)无法由xp(t)恢复得到。
（f）因为若当

时，

，则当

时，


。所以由已知条件可推知，当

时，

即x(t)的奈奎斯特频率

采样频率

，故由采样定理知，x(t)可由xp(t)恢复得到。
（g）虽然已知当

时，

，但不知当


时

是否也等于0，故无法确定x(t)的奈奎斯特频率，即无法保证能由xp(t)恢复x(t)。
7.22　信号y(t)由两个均为带限的信号x1(t)和x2(t)卷积而成，即

其中，

，

。现对y(t)进行冲激串采样，以得到

。试给出y(t)保证能从yp(t)中恢复出来的采样周期T的范围。
解：因

，故

。
又当

时，

。
于是当

。
由采样定理知，若采样频率

，即


时，y(t)能够由yp(t)恢复。
7.23　如图7-15所示是一个用交替符号冲激串来采样信号的系统。输入信号的傅里叶变换X(jω)如图7-15（c）所示。
（a）对于

，画出xp(t)和y(t)的傅里叶变换。
（b）对于

，确定一个能从xp(t)中恢复x(t)的系统。
（c）对于

，确定一个能从y(t)中恢复x(t)的系统。
（d）确定x(t)既能从xp(t)又能从y(t)中恢复的最大Δ值（相对于ωm）。



图7-15
解：（a）由图7-15（a）所示系统知，xp(t)＝x(t)p(t)，从而有

p(t)是个周期信号，周期为2Δ，其傅里叶系数为



故其傅里叶变换为

于是得

注意到

即

，从而得Xp（

）的图形如图7-16所示。
仍由图7-15（a）知



图7-16
因H(jω)是一带通滤波器，上、下截止频率分别为

和

所以易得Y(jω)如图7-17所示。

图7-17
（b）如图7-18所示系统，可实现用xp(t)回复x(t)的波形。其中，

说明：因



，即

。

（c）如图7-19所示系统，可完成由y(t)重建x(t)的任务。其中，

说明：因

故　　　　　　　

即

。
（d）由图7-16和图7-17所示的Xp（

）和Y（

）可见，要能由xp(t)或y(t)重建x(t)，必须有

即Δ的最大值


7.24　如图7-20所示是一个将输入信号乘以一个周期方波的系统，s(t)的周期是T，输入信号是带限的，且为

。
（a）对于

利用ωm确定T的最大值，以使在W(jω)中X(jω)的重复部分之间没有混叠。
（b）对于

利用ωm确定T的最大值，以使在W(jω)中X(jω)的重复部分之间没有混叠。



图7-20
解：如图7-20所示的s(t)可以表示为s(t)＝g(t)－1，其中g(t)如图7-21所示，易知

于是



图7-21





如图7-22所示。

图7-22
又因为

，故

可见，W(jω)是被抽样函数（Sa函数）幅度加权且平移了的X(jω)叠加而成的，平移量为2kπ/T，若要不发生频域混叠，应有

，从而得到在这种情况下的T的最大值

。
（b）若

，则

S(jω)如图7-23所示。

图7-23
由图7-23可见，当

时，S(jω)＝0，这意味着W(jω)中，两个相邻的

相距4π/T，因此若想不发生混叠，只有

从而得到在这种情况下的周期T的最大值

。
7.25　如图7-24所示是一个采样器紧跟着一个用于从样本xp(t)中恢复出x(t)的理想低通滤波器。根据采样定理知道，若

大于x(t)中存在的最高频率的2倍，而且

那么重建信号xr(t)就一定等于x(t)。如果在x(t)的带宽上这个条件不满足，xr(t)就一定不等于x(t)。本题要证明，如果

那么无论选什么T，xr(t)和x(t)在采样瞬时总是相等的，即

为了得到这一结果，将xr(t)用x(t)的样本值表示成

由于

上式变为

只要考虑到

的a值，无须对x(t)进行任何限制，由式证明：对任意整数k，都有



图7-24
证明：

当n≠k时，

当n＝k时，

因此

成立。
7.26　采样定理表明，一个信号必须以大于它的2倍带宽的采样率来采样（或者等效为大于它的最高频率的2倍）。这就意味着，如果有一个信号x(t)的频谱如图7-25（a）所示，那么就必须用大于2ω2的采样率对x(t)进行采样。然而，因为这个信号的大部分能量是集中在一个窄带范围内的，因此似乎有理由期望能用一个低于2倍最高频率的采样率来采样。能量集中于某一频带范围内的信号往往称为带通信号（bandoasssitmal）。有各种办法来对这样的信号进行采样，一般统称为带通采样（bandass samoline）技术。
为了研究有可能存一个小于总带宽的采样率下对一个带通信号进行采样，考虑如图7-25所示的系统。假定

求能有

的最大T值，以及常数A，ωa和ωb的值。



图7-25
解：

因为





图7-26
当T增加时，

趋于0。
当

时，有混叠现象。
如果

则当

没有混叠。
最大的T为

，此时ω2为0，故

，
作出此时的图像，可得

。
7.27　在习题7.26中讨论了带通采样和恢复的一种方法。当x(t)为实信号时可用另一种方法，这种方法先将x(t)乘以一个复指数，然后再对乘积采样。采样系统如图7-27（a）所示。由于x(t)为实函数，且

仅在

时为非零，频率ω0选为

低通滤波器H1(jω)的截止频率为

（a）若X(jω)如图7-27（b）所示，画出

（b）确定最大的采样周期T，以使可以从xp(t)中恢复x(t)。
（c）确定一个从xp(t)中恢复x(t)的系统。



图7-27
解：（a）令

，

表示

的傅里叶变换。

是低通滤波器的输出，

表示

的傅立叶变

，

和

如图7-28所示。

图7-28
（b）

的奈奎斯特率为

，因此采样周期T至少为

以使能从xp(t)中恢复x(t)。
（c）从xp(t)中恢复x(t)的系统如图7-29所示。

图7-29
7.28　如图7-30所示的系统将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号。输入x(t)是周期的，周期为0.1s，x(t)的傅里叶级数系数是

。低通滤波器H(jω)的频率响应如图7-30（b）所示，采样周期

（a）证明x[n]是一个周期序列，并确定它的周期。
（b）确定x[n]的傅里叶级数系数。



图7-30
解：（a）因为x(t)的周期T0＝0.1s，故其基频

则其傅里叶变换为

其中

低通滤波器的截止频率

，因而xc(t)的傅里叶变换为

注意到

则可求出Xp(jω)



Xc(jω)和Xp(jω)分别如图7-31（a）、（b）所示。

图7-31
注意：由于采样时间间隔

，采样频率

，因而在构成Xp(jω)时，Xp(jω)在

等处有叠加。而且由图7-31（b）可看出，Xp(jω)既具有周期性，又都是由冲激串组成的。在图7-31（a）所示系统中，将冲激串xc(t)变为离散序列x[n]，只是一个频率变换过程。因此，x[n]的频谱与xc(t)的频谱一样，是周期性的冲激串，因而x[n]是周期的，因为周期离散信号的傅里叶变换是周期的冲激串。
下面求x[n]的周期。不难知xc(t)的傅里叶级数为

因

，即

可将上式右端作为周期序列x[n]的傅里叶级数。因有

而

，其中N为x[n]的周期，故x[n]的周期

。
（b）在（a）中已得到x[n]的傅里叶级数为


，
因为当k＝－10时

；当k＝10时，

所以此傅里叶级数也可写为

即x[n]的傅里叶系数为


7.29　如图7-32（a）所示系统利用离散时间滤波器过滤连续时间信号。若

和

如图7-32（b）所示，以

画出




和

。



图7-32
解：xc(t)经过冲激串采样得到x0(t)，采样频率


易知采样后信号的频谱

Xn(jω)如图7-33（a）所示。
由冲激串xp(t)转换为序列x[n]，在频域中进行了频率归一化，即若将Xp(jω)表示为Xp（jΩ），而x[n]的频谱函数用X(ejω)表示，则

X（ejω）如图7-33（b）所示。
x[n]通过截止频率为π/4的低通滤波器得到y[n]，易知

Y（ejω）如图7-33（c）所示。
由序列y[n]转换为冲激串yp(t)，若yp(t)的频谱函数用Yp（jΩ）表示，则

Yp（jΩ）如图7-33（d）所示（图中Ω换成为ω）。
yp(t)再通过截止频率为

，通带增益为T的低通滤波器，得到yc(t)，易知

如图7-33（e）所示。

图7-33
7.30　如图7-34所示系统由一个连续时间线性时不变系统接一个采样器，转换为一个序列，再后接一个离散时间线性时不变系统。该连续时间线性时不变系统是因果的，且满足如下线性常系数微分方程：

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