李永乐线性代数要注重知识点的衔接与转换

zqsuccess1008 · 发表于 07-4-25 18:13:30

本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。

　　一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
　　线性代数的概念很多，重要的有：
　　代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
　　往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。例如，矩阵A＝（α1，α2，……，αm）与B＝（β1，β2……，βm）等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r（A）与r（B）是否相等，而向量组α1，α2，……αm与β1，β2，……βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，……αm与β1，β2，……βm等价，可知矩阵A＝（α1，α2，……αm）与B＝（β1，β2，……βm）等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。
　　又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P－1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分条件。
　　线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：
　　行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。
　　二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
　　线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
　　例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n，进而可求矩阵A或B中的一些参数。
　　再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P－1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组（λiE－A）x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r（λiE－A）＝n－ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r（λiE－A）
　　又比如，对于n阶行列式我们知道：若A＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解（可能有无穷多解，也可能无解），而当A≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；可用A证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A－1；对于n个n维向量α1，α2，……αn可以利用行列式A＝α1α2……αn是否为零来判断向量组的线性相关性；矩阵A的秩r（A）是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r（A）
　　凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。
　　三、注重逻辑性与叙述表述
　　线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，
同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
　　线性代数中常见的证明题型有：
　　证A＝0；证向量组α1，α2，……αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2……，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解（亦即β能否由α1，α2……，αs线性表出）；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。
　　总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在考试中取得好成绩，一定要认真仔细地复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。

muzima · 发表于 07-4-27 11:47:01

个人觉得李永乐的线性代数还是讲的很精彩的，感谢楼主分享了！！

小兀军 · 发表于 07-4-29 15:08:51

都听人说~`
线代是最容易拿分的了~~
请问各位是不是这样的呢~~

jiandaxuezi2008 · 发表于 07-4-29 19:15:59

线代是最容易拿分的了
请问各位是不是这样的呢

xl4501 · 发表于 07-5-11 00:00:38

gpofe

XW660 · 发表于 07-5-27 15:02:28

thank you
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小猴子猴子小 · 发表于 07-5-30 19:30:54

我不这么看。你可以拿到历年的真体做一下，不想你想像的那样简单的（当然2007很简单）
个人观点仅工参考

小猴子猴子小 · 发表于 07-5-30 19:32:28

李的线性代数相当厉害

roki · 发表于 07-5-31 00:52:13

李的线性代数相当厉害
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roki · 发表于 07-5-31 00:52:24

李的线性代数相当厉害
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