一道新东方线性代数的问题

jh4663 · 发表于 07-9-20 09:36:04

原题：已知a1，a2，a3线性相关，而a2，a3，a4线性无关，则a1，a2，a3，a4中，＿＿＿能用另外３个向量线形表示，而＿＿＿不能用另外３个向量线形表示。
解答：第一个填a1,第二个填a4
第二个空应该没什么问题，关键是第一个空，如果能填a1，那么为什么不能填a2，a3呢，他们三个线性相关就可以用任意两个表示第三个啊。

zxfchenmin · 发表于 07-9-20 10:14:17

还没看到呢到时候告诉你咯！

zhzhh123 · 发表于 07-9-20 11:05:35

原帖由 jh4663 于 2007-9-20 09:36 AM 发表
原题：已知a1，a2，a3线性相关，而a2，a3，a4线性无关，则a1，a2，a3，a4中，＿＿＿能用另外３个向量线形表示，而＿＿＿不能用另外３个向量线形表示。
解答：第一个填a1,第二个填a4
第二个空应该没什么问题， ...

举一个特例就可以说明：
因为a1，a2，a3线性相关，而a2，a3线性无关，所以a1一定可以由a2，a3线性表出，这时不妨假设a1=a2，那么这时候显然向量组a1，a2，a3，a4就是a2，a2，a3，a4。因为a2，a3，a4无关，那么a3不能由a2，a2，a4线性表出。a2的推导类似。

[ 本帖最后由 zhzhh123 于 2007-9-20 11:19 AM 编辑 ]

zhzhh123 · 发表于 07-9-20 11:12:03

这道题多少有些问题，如果改成......“＿＿＿一定能用另外３个向量线形表示，而＿＿＿一定不能用另外３个向量线形表示。即增加两个“一定”就更严谨了。

jh4663 · 发表于 07-9-20 12:43:13

谢谢三楼的解答，我搞清楚了。

grasserb · 发表于 07-9-20 14:06:58

了解了！！！

尤里安 · 发表于 07-9-20 21:09:20

a1，a2，a3线性相关,只是有不全为0的k使他们的和为0，并不代表任意一个可由另外两个表示哦。

ijustknow · 发表于 07-9-20 22:42:08

这个问题也一直是我的误区呢

zhzhh123 · 发表于 07-9-20 23:57:13

原帖由 尤里安 于 2007-9-20 09:09 PM 发表
a1，a2，a3线性相关,只是有不全为0的k使他们的和为0，并不代表任意一个可由另外两个表示哦。

注意本题的条件：a2,a3线性无关关，a1,a2,a3线性相关，那么a1一定可以由a2,a3线性表出。这是一个定理，证明过程也不难。

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