考大家一个极限问题

这2个解答到底哪个正确~

[ 本帖最后由 wmlln1219心动 于 2007-11-1 00:16 编辑 ]

第二个正确

你可以用泰勒公式将分子展开表示成exp{  }就知道了
至于第一种方法是错的，不能将分子里单独做极限
可以举一例子如：（1+1/x)的x次方的趋于无穷极限是e；如果仿照一中的解可以的（1+1/x）的极限为1 再1的无穷次方也是1 就的上式极限为1了而不是e

不错，是第2个正确
但是好象大家还没说到点子上去。为什么错了大家仔细想想一定有收获

第一个显然错了，如果可以那样算还了得
比如
lime=e(x趋于正无穷),但e=e^(x.1/x)=(e^1/x)^x=0^x=0

说下:
其实就是这个意思，只有当x趋近与a的时候，f(x),g(x)的极限都存在，那么他们的加法f(x)+g(x)乘法f(x)g(x),和除法f(x)/g(x)才可以分别把极限符号提到f(x)和g(x)前面去.这是这个错误的实际原因。

绝对是第2个正确啦
这种常规方法又没复杂很多的
还是不要想那样投机了

受教了，的确和那题目是一个类型的~~~

原帖由 wmlln1219心动 于 2007-11-1 13:35 发表
说下:
其实就是这个意思，只有当x趋近与a的时候，f(x),g(x)的极限都存在，那么他们的加法f(x)+g(x)乘法f(x)g(x),和除法f(x)/g(x)才可以分别把极限符号提到f(x)和g(x)前面去.这是这个错误的实际原因。

呵呵，
我以为这个说法也不够全面.

比如说 f(x) = 1/x , g(x) =1/(e^x) 当x -> 无穷大时,极限都存在.那么 f(x)/g(x) [实际上是, e^2/x]的极限存在吗?
如果要使用此方式来说明求极限的运算符号是否分别分到分子分母，进行分步求极限。前提是二者极限都不为0，或者，分母的极限不为零。

请参照：
http://bbs.freekaoyan.com/thread-215279-2-2.html

实际上，我以为在没有把握前最好不要进行分步求极限。因为我们在使用limat 求极限时，只关注到当前表达式的最低阶无穷小量（无穷大量也是一样的）的关系，忽略了高阶次无穷小量。而实际上，如果有，limat(f) = 0，我们总习惯于认为 f = x（x趋近于0）。事实上，f = 0(x).
也就是说，我们并不知道，f 是 x 的几次无穷小。x, x^2, ....x^n 的极限都是0。同样一个与 f 等价的 函数 f(x)最低阶次与 f 相同。同样，我们也无法直接知道（如果不进行级数展开），f(x) 与 x 的几次阶是同阶的。


鉴于上面的分析，我个人建议。能够使用 L\'Hospital 法则，就使用 L\'Hospital 。这可以避免上面的问题，而且这个是也从极限的本质和定义来求解的。总之，在实际求解过程中，如果有提前运用 Limat 多半会出错。

如果，确实要使用的话。请注意这个关系 f(g(x)) （这是个复合函数）。 如果 f(x) 是 g(x) 的有限次的简单函数，也就说，对于给定 g(x) 的值，我们直接就能得到 f(g(x)) 的值，而不需要求极限（一定不能有求极限）。那么就有： limat [f(g(x))] = f(limatg(x))。否则就没有这个关系。

比如(1+ 1/x)^(x^2)
如果令 g(x) = (1 + 1/x)^x
f(y) =y^x;  
则 limat [f(g(x))] = limat f(limatg(x)) 是错误的。如果你细心的话，这里实际上 limat g(x) 是 x->0 ，limat f(y) 有使用了 x->0. 也就说，函数的两部分不是同时变化的！？这里是先让一部分具有无穷特性，让另一部分具有一般参数特性。然后有让刚才的一般参数变为无穷。这个做法本来就是自相矛盾的。（前面承认其不是无穷量，后面为什么又把它作为无穷量来处理。）


呵呵，写的比较乱。希望能对大家有所帮助！

原帖由 ID_800Rain 于 2007-11-21 21:53 发表



呵呵，
我以为这个说法也不够全面.

比如说 f(x) = 1/x , g(x) =1/(e^x) 当x -> 无穷大时,极限都存在.那么 f(x)/g(x) [实际上是, e^2/x]的极限存在吗?
如果要使用此方式来说明求极限的运算符号是否分 ...

关于你举的例子，如果那么做，就会出现0:0 ，肯定是不会这么做的

判断上下极限是否存在只是为了用等价无穷小替换，然后消去零因子而已
如果没有零因子，直接带入就可以了

L\'Hospital 法则 可以说是近视万能公式，不过太麻烦了，能用替换是最好的

比如(1+ 1/x)^(x^2)
如果令 g(x) = (1 + 1/x)^x
f(y) =y^x;

不能这么做，是因为指数部分趋向无穷大，也是属于极限不存在的范围

顶，就是这个意思
判断上下极限是否存在只是为了用等价无穷小替换，然后消去零因子而已
如果没有零因子，直接带入就可以了
这个是关键