陕西师范大学数科院

陕西师范大学数科院
2003年研究生各专业复试试题

   《数学分析》与《高等代数》部分为必做题，其它三门中任选一门。
二．        数学分析部分(每题10分,共40分)
1.        设 是实数域 上的全体２阶矩阵之集，对任一 ，记 . 对 , 规定: 指 . 证明:
(1)  ,其中 ;
(2)  存在且求其值;
(3)  .
2.         设 分别表示 上的全体Riemann可积函数与全体连续函数之集.
（1）        说明 的关系;  
（2）        说明 关于函数的运算是 上的线性空间；
（3）        定义 ，说明：（a） 是从 中的线性映射；（b） 是 的不动点（即 ）当且仅当 .
3.         Let  be a dense subset of an interval  (i.e. every point of   is the limit of a sequence in ). Show that if   are continuous functions on  , then   if and only if  .
4.         给出数学分析中你认为最重要最基本的五个定理的名称,并说明它们之间的关系及各自的意义.

三．        高等代数部分(共40分)
      1．（10分）已知矩阵
      ,  ,  
满足 ，求矩阵 .
   2.  (15分)设 线性无关，问:

是否也线性无关，试给予分析.
  3．（15分）设 是一个反对称实矩阵, 证明：
（1） 可逆；
（2） 是一个正交矩阵.
  
四．        实变函数论部分(每题5分,共20分)
1.        试述Lebesgue积分与Riemann积分的关系.
2.        试述Lebesgue积分的几何意义并举例说明.
3.        设 为非负连续函数, 证明:曲边梯形 是 中的Lebesgue可测集,并且 .
4.        设 为 上全体实值函数之集， 为 上全体实值连续函数之集，用基数的观点说明 远大于 .
五．         常微分方程部分(每题10分,共20分)

1.        解方程
试讨论方程组 的奇点类型，其中 为常数且 .
       
六．        近世代数部分(共20分)
      设p为素数，令 ={  不整除b }为有理数域的子环，证明：
     （1） 为 的单位（或可逆元）当且仅当p不整除a;
（2）若 为 的理想，则存在非负整数k使得 ；
（3）R有唯一的最大理想.