Mathematics is colorful, but the only one problem is that I am not good at it.
一把椅子四条腿，但是长度并非完全一致，所以大多数时候总有三条腿着地，试问有没有可能使椅子四条腿都着地？
通过数学方法可以证明，这是有可能的。虽然说实践是认识的来源，但是在正式去实践之前，也要先进行可能性分析，如果不可能，就没必要再去实践了，而数学是可能性分析的有力工具。
前提：地面是连续曲面，椅子是正方形。
把椅子四条腿最靠近地面的点看作几何点，按顺时针顺序定为A、B、C、D。这样AC、BD是椅子的对角线。因为在任何时候总有三腿着地（立体几何：三点确定平面），所以在A、B、C三点与地面接触时，以AC为x轴，BD为y轴构造直角坐标系，然后旋转椅子，因为地面是连续曲面（连续函数），椅子四条腿长度是确定的（高等数学：常数函数也是连续函数），所以四条腿着地点与地面的距离会随着椅子的旋转而变化，即距离是θ的函数。记旋转后的AC与x轴夹角为θ，A、C两点与地面距离之和为f(θ)，B、D两点与地面距离为g(θ)。显然f、g均是连续函数（高等数学：连续函数的初等运算结果仍然是连续函数）于是f(0)=0，g(0)>0。并且，当椅子逆时针旋转90度时，AC与BD位置交换，此时A、B、D三点着地，于是f(π/2)>0，g(π/2)＝0。此外，由于任何时候总有三点着地，因此对于任意θ∈[0,π/2]（其实也可以推广到任意θ∈R，但是在此处没必要），恒有f(θ)g(θ)=0。所以我们要找那么一个角度θ，使f(θ0)=g(θ0)=0。
于是椅子着地问题被抽象成如下数学问题（即构建出了数学模型）
已知：f(θ)、g(θ)都是连续函数，且对于任意θ∈[0,π/2]，恒有f(θ)g(θ)=0，另有f(0)=0，g(0)>0，f(π/2)>0，g(π/2)=0。
求证：存在θ0∈[0,π/2]（0是下标，下同），使f(θ0)=g(θ0)=0
证明：令h(θ)=f(θ)-g(θ)，则有
h(0)=f(0)-g(0)<0……（1）
h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)>0……（2）
显然h(θ)也是连续函数，根据连续函数中值定理（高等数学：对于连续函数f(x)，x∈[x1,x2]，恒存在x0∈(x1,x2)，使得f(x1)<f(x0)<f(x2)），存在θ0∈[0,π/2],使h(θ0)=0,
即f(θ0)=g(θ0)。
又∵恒有f(θ)g(θ)=0，
∴f(θ0)=g(θ0)=0
结论：当地面是连续曲面并且椅子是正方形时，恒存在一点使四条腿均能着地。
根据立体几何原理，将椅子着地（立体问题）转化为平面问题，又根据平面解析几何原理构造以角度为自变量连续函数，再根据初等代数方法构造同为连续函数的差函数，最后用高等数学中的连续函数原理予以证明。这就是数学的奇妙用途所在。这也是我希望重新好好学习数学，尤其是高等数学的原因。因为数学对于理、工、经、管、农、医的研究生来说实在太重要了。在如今考试指挥棒主宰一切的教育体系下，催促大家学习数学、学好数学的唯一方法莫过于将考研数学由工、经、管、农推广至更多的学科。可以设立考察内容为高数、线代、概统全部内容并且难度不大的“数学四”，供非工、经、管、农的考生使用。
[ 本帖最后由 Kukmoon 于 2009-10-17 11:48 编辑 ] |
楼主
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