求教：重积分的计算

求高人指点，在做重积分的习题中碰到许多头疼的，下面先传上一道：
  

我认为这倒不是积分域复杂，而是积分上下限的确定需要专门练习一下。楼主想到了换元积分，不防试一下令u=x+y，v=x-y。
另外，个人认为，极坐标肯定可以做，主要是根据条件得出角的取值范围最重要，剩下的就是定积分的事情了。  最近比较忙，劳烦楼主，自己动手算下。

楼主这个问题很简单。请参阅解答。
对于教材上的18个常用平面曲线需要记住。

[ 本帖最后由 智轩 于 2008-6-20 18:54 编辑 ]

谢谢。我也算出来了，是那个答案。确实是积分上下限的问题，用极坐标。只不过对这个区域不熟悉，导致生疏，一时没做出来。

请你重视教材复习。

对称性的应用在积分运算中非常节约计算量。
智轩老师能不能用几句简短的话，将二重积分中，如何利用对称性给考生总结一下（可以结合一重积分的说，因为比较熟悉）。

由于二重积分（平面积分）的几何意义是“代数体积”，则有正负之分， 而且正负完全处决于被积函数，与积分区域无关。
如区域关于某一座标轴（如y轴）对称时，被积函数如果关于x轴对称，从几何上看就是，积分相当于被积函数在上下半个平面分布的体积正负相反，数值相等，而全部体积为零。
三重积分和曲线曲面积分最终要化成二重积分和定积分，也有类似的结论。
详细的对称性总结请参阅我的红宝书。

[ 本帖最后由 智轩 于 2008-6-21 19:59 编辑 ]

多谢多谢 再接再厉！！！