侃侃计算数学

2004-11-26    豆豆       点击: 2936

侃侃计算数学 （数值优化）
谈到数值优化，不能不提的是单纯形算法。这被誉为20世纪最受人欢迎的算法为人们带来
巨大的经济效益。不过有趣的是，这个最好的算法在算法复杂度理论里面却解释不通，
因为它不是多项式算法。

数值优化以求解有约束或无约束条件下函数最值为目标。我想数值优化里面最
令人头疼的是如何判断你找到的不是极值而是最值。因为二者的区分
似乎只能从函数值上得到，其它的信息包括各种导数似乎都没有什么区别。但是，
实际中的很多问题都有大量的极值点，如果挨个寻找根本不可能。
对付这个问题，现在最有效的武器应该是随机算法包括遗传算法等等。但是，
其庞大的计算量有时也让人望而却步。
优化里面另外一个困难的问题是整数优化，凡是涉及的整数的问题总是令人头疼的
，因为限制太为严格。直到今天，人们连线性方程组的整数解都没有完全解决，
何况在此基础上考虑整数规划等等。
其它的诸如不可微优化、非线性规划等等发展到今天似乎很难有什么突破，也局限于在
理论上推导满足一些条件的算法，但实际中有几个问题能满足这些条件（我的愚见，未必正确）。

现在，与计算机组合优化密切相关的计算复杂度理论异军突起，新千年7个悬赏问题之一
就是与之相关的P是否等于NP.我想，结合图论组合优化计算机等学科，这一方面的发展是很有空间的。

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-7-1 10:23 编辑 ]

侃侃计算数学 （数值代数）
2004-11-26    豆豆       点击: 1790

侃侃计算数学 （数值代数）
实际工程中的问题即使最终化作线性方程组Ax=b的形式，我们也不一定能将其最终解决。
这对于作基础数学的似乎难以理解。因为当A的维数足够大的时候，
如何快速求相应的线性方程组的解，的确是个问题。幸运的事，
实际中的A都是稀疏的，就是很多元素都为0，于是就有
了大规模稀疏矩阵计算的一套理论与算法，包括求其特征值等等。

其它的诸如求解非线性方程的数值算法等等，也可以归为此类。

侃侃计算数学 （微分方程数值解）
2004-11-26    豆豆       点击: 2118

侃侃计算数学 （微分方程数值解）
到现在，我们才说到计算数学里面最重要的一部分——微分方程数值解。记得以前有个老师说过：
世界是物质的，物质是运动的，运动是有规律的，规律要用微分方程来刻画。由此可见微分方程
在现实中的重要地位。以前，人们更多的是研究微分方程的定性理论，如：解的存在性等等。但是
工程实际中需要求解微分方程。但是，如所至解析解存在的微分方程太少了，于是数值解就随着计算机的
出现而发展起来。本科的时候，我做的第一个科研工作就是关于微分方程数值解的，直到现在仍然记得
通过计算得到海水涨落，之后将其动画表示出来的激动场景。数值解的强大力量自此给我深刻的印象。

不过庆幸的是，因为冯康先生在有限元及辛算法等方面的卓越工作，及以后中国人在诸如
非协调元等方面的漂亮工作，使得中国在这一重要领域在国际占有一席之地。

数值解的基本思想是将微分方程离散化作代数方程，这其中最重要的是保证其物理意义。
在实际工程领域中
应用最为成功的就是有限元方法。如今关于这方面的软件数不胜数。
有限元方法穿插了计算数学中许多重要的
分之：如各种类型的元很多用逼近里的工具，做三角剖分要到计算几何里的方法，
最后形成的刚度矩阵计算则用数值代数里的方法，计算结果的可视化也要用到数值逼近的方法，
虽然现在，很多的其它数值解方法：如无网格，谱方法，小波方法等等仍然研究很多，
但是由于种种局限性似乎难以同有限元在工程中的应用抗衡。

侃侃计算数学 （数值逼近）
2004-06-14    豆豆       点击: 6805

侃侃计算数学 （数值逼近）
数值逼近是计算数学的一个分支，可能也是我最了解的一个分支。用简单的函数去近似表示复杂的函数，看似简单，实则用处极大。因为一般的函数我们是不能控制的，但是简单的函数，如多项式等等我们却可以“控制”。这就如同我们不能控制无理数，却能控制有理数一个道理。因为有理数都可以写为两个整数之比，所以计算任何无理数都是用有理数去近似。这和函数逼近的思想是一致的。数值逼近的经典问题有：插值、拟合、近似求积分、最佳逼近、以及有理逼近（包括连分式）等等。直到今天，随着计算机的发展，数值逼近在计算机领域中又大显身手：如计算机辅助几何设计采用了数值逼近里面很多的工具，与信号处理密切相关的小波理论及算法其应用更是极广，其他诸如计算机可视化及视觉等等与数值逼近更是息息相关。 数值逼近发展到今天，主要问题是高维的，一维的无论如何总是有办法的，但到了高维就不同了，无论在理论还是在算法上都碰到了本质上的困难。很难有一维的理论很圆满漂亮的推广到高维的例子。如：众所周知一元多项式插值理论，在本科生上数值逼近第一堂课就有了很好的结论，但是多元多项式插值直到今天仍有很长的路要走。更何况最佳逼近，pade逼近，连分式多元样条,多元小波等等。

计算数学复试会有关计算机方面的问题吗  有谁知道 啊

ua感谢楼主的无私奉献.

真是太谢谢楼主了