积分与原函数问题

今天看复习全书
可积分的三个充分条件可以推出区间可积分，其中第一是连续；
但是后来看到有没有原函数时候又说有第一类间断点在区间就没有原函数；
间断点分开的两个区间上有原函数的，怎么说它不存在呢？？
是不是它不连续就不存在了呢？？
定积分，原函数，不定积分的关系是什么呀？？
就是相互推算的关系[s:10]

原帖由 knightfy 于 2008-9-5 16:51 发表
今天看复习全书
可积分的三个充分条件可以推出区间可积分，其中第一是连续；
但是后来看到有没有原函数时候又说有第一类间断点在区间就没有原函数；
间断点分开的两个区间上有原函数的，怎么说它不存在呢？？ ...

这个问题我已经对此解答过，可能你没注意。

可积是定积分范畴；原函数是不定积分范畴；二者切莫混淆在一起。

不定积分存在定积分就一定存在
而定积分存在不定积分不一定存在
这样说对吗？？
定积分存在是因为去掉有限个点的定积分，曲边梯形的面积不变
而不定积分仅仅是因为它不连续就不存在了~~
不定积分存在与原函数存在是不是等价的呀？？我知道的就是它们差个常数

它们是两个不同的概念，不具有比较性。它们的关系表面上是差一个常数，本质完全不同，你不要把它们联系在一起。

这个问题我也想过,以下是我做的一个小总结,希望对你有用:
原函数存在与函数可积:

提出几个知识点:
原函数存在的充分条件:函数连续.
函数可积分的充分条件:3点(都是围绕有界来的)A在闭区间上连续B有限个间断点且有界(注意这里,间断点可能是第二类间断点里的震荡间断点)C单调且有界.

原函数存在--------不定积分
函数可积分--------定积分

原函数存在不一定可积分,可积的函数不一定存在原函数.两者是不同的概念.
原函数存在的函数可能不满足有界的条件,这样它就不可积了.比如y=1/x,它在[-1,1]上就不可积.但是它的原函数是明显存在的.而且它并不连续.所以说连续是原函数存在的充分条件,但并不是必要条件.
可积分的函数,可能积出来的是一个无穷级数之类的东西,不能用有限的简单函数表示出来,这样它虽然可积分,原函数却并不存在.

如果原函数存在,则原函数必可导且连续.(可导必连续)

牛顿-莱布尼茨把两者连续在一起，注意条件必须是函数连续。

三个结论:
1.函数有第一类间断点，则不存在原函数。
2.函数有第二类间断点，则原函数存在性不确定。
3.函数可导，则它的导函数可能连续、也可能有第二类间断点。（是1、2的推论）

老师能不能把以前的帖子的地址给我看看
或者解释一下~~
很困惑

原帖由 sophialll 于 2008-9-5 18:19 发表
这个问题我也想过,以下是我做的一个小总结,希望对你有用:
原函数存在与函数可积:

提出几个知识点:
原函数存在的充分条件:函数连续.
函数可积分的充分条件:3点(都是围绕有界来的)A在闭区间上连续B有限个间 ...

你的理解是正确的。
当函数连续时，不定积分和定积分的定理大部分等价，是对的。
一般情形下，牛顿-莱布尼茨并未把不定积分和定积分的性质联系在一起。

老师：
我有个想法，您能不能把这种不太形似而实质不同的，易混淆的概念总结一下，给我们的帮助肯定是很大的，或者开个帖子，大家把这个一起顶起来~~
还有，谢谢啦[s:9]

计划采纳你的优秀建议。

我也不大懂这种东西