求教一线性代数小题

sxt1987 · 发表于 08-9-12 11:17:09

好心人帮我解答下这个题吧，谢谢了，自己做不来

A，B 是N阶方阵，E为N劫单位矩阵，证明若E-AB可逆，则E-BA也可逆

k0k0k0k0 · 发表于 08-9-12 11:23:15

这题我没法证，你少了一个条件，A也可逆？

sxt1987 · 发表于 08-9-12 11:26:30

题中没说A可逆，答案提示用逆矩阵的定义来做

哼哼哈哈 · 发表于 08-9-12 12:47:33

用反证法来做，如果不可逆，则其线性方程组有非零解，而这与题设条件矛盾

哼哼哈哈 · 发表于 08-9-12 12:55:49

若E-BA不可逆，则存在一个x不等于0，使得（E-BA)X=0，即x=BAX,令Y=AX,则X=BY,所以Y不等于0，又（E-AB)Y=Y-ABY=0,由于E-AB可逆，故Y=0,矛盾

s5279551 · 发表于 08-9-13 20:14:02

楼上正解，此题不难吧。。。

sxt1987 · 发表于 08-9-14 15:03:39

没想到反证，多谢

amair · 发表于 08-9-14 15:51:31

摘自《高等代数新方法》

linexp · 发表于 08-9-14 18:00:56

方法难以想到

289570753 · 发表于 08-9-14 20:21:04

8楼的是怪才！佩服

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